¿Qué son las medidas de centralización?

Las medidas de centralización resumen un conjunto de datos con un valor representativo que indica alrededor de qué número se agrupan. Las tres principales son la media, la mediana y la moda.

Media aritmética

La media es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos:

$$ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{N} $$

Si los datos están en una tabla de frecuencias, se pondera cada valor por su frecuencia: $\bar{x} = \sum x_i \cdot n_i / N$.

Mediana

La mediana es el valor central cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Deja el 50% de los datos por debajo.

  • Si $N$ es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición $(N+1)/2$.
  • Si $N$ es par, la mediana es la media de los dos datos centrales (posiciones $N/2$ y $N/2 + 1$).
notas 3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 10
  • Media: $\bar{x} = (3 + 5 + 5 + 7 + 8 + 8 + 8 + 10)/8 = 54/8 = 6{,}75$.
  • Mediana: $N = 8$ es par; los datos centrales son el 4º (7) y el 5º (8): mediana $= (7 + 8)/2 = 7{,}5$.
  • Moda: el valor que más se repite es el 8 (aparece 3 veces).

Con un dato extremo, por ejemplo sustituir el 10 por un 100, la media pasaría a $118/8 = 14{,}75$ mientras que la mediana seguiría siendo 7,5: la media es sensible a los valores extremos, la mediana no.

Moda

La moda es el valor que más veces se repite (mayor frecuencia absoluta). Puede haber varias modas o ninguna si todos los valores aparecen el mismo número de veces. Es la única medida de centralización que se puede calcular con variables cualitativas.

Datos agrupados en intervalos

Cuando los datos se agrupan en intervalos, cada intervalo se representa por su marca de clase (punto medio) para calcular la media:

$$ x_i = \frac{L_i + L_{i+1}}{2} \qquad \bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot n_i}{N} $$

La mediana cae en el intervalo cuya frecuencia acumulada supera $N/2$ (intervalo mediano). La moda es el intervalo de mayor frecuencia (intervalo modal).

edades de 20 alumnos agrupadas
IntervaloMarca $x_i$$n_i$$N_i$
[10, 15)12,544
[15, 20)17,51014
[20, 25)22,5620
  • Media: $\bar{x} = (12{,}5 \cdot 4 + 17{,}5 \cdot 10 + 22{,}5 \cdot 6)/20 = (50 + 175 + 135)/20 = 360/20 = 18$.
  • Mediana: $N/2 = 10$; la frecuencia acumulada supera 10 en el intervalo [15, 20), que es el intervalo mediano.
  • Moda: el intervalo [15, 20) tiene la mayor frecuencia (10), así que es el intervalo modal.

¿Cuál usar?

  • La media es la más usada, pero conviene evitarla si hay valores extremos.
  • La mediana es robusta frente a valores atípicos; se usa en sueldos o precios de vivienda.
  • La moda sirve para variables cualitativas y para conocer el valor más típico.

Errores comunes

  • No ordenar los datos antes de calcular la mediana.
  • Confundir posición con valor: en $N$ par hay que hacer la media de los dos valores centrales.
  • Usar la media con variables cualitativas (no tiene sentido la media de colores favoritos).

1. ¿Cuánto vale la media de los datos 2, 4, 6, 8, 10? (1 puntos)

2. ¿Cuánto vale la mediana de los datos 3, 7, 1, 9, 5? (1 puntos)

3. ¿Cuál es la moda de los datos 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7? (1 puntos)

4. ¿Cuál de las medidas de centralización se ve más afectada por la presencia de un valor extremo? (1 puntos)

5. Considera los datos 2, 3, 5, 8 (N par). Calcula: (1 puntos)

a ) Apartado a) ¿Cuánto suman los dos valores centrales?

b ) Apartado b) ¿Cuánto vale la mediana?

6. Para calcular la media de datos agrupados en intervalos, ¿qué valor se usa para representar cada intervalo? (1 puntos)

7. ¿Cómo se llama la medida de centralización que corresponde al valor que más veces se repite? (1 puntos)