Funciones lineales
Una función lineal (o función afín) es una función cuya expresión es
donde $x$ es la variable independiente, $y$ la dependiente, y $m$ y $n$ son números fijos llamados parámetros.
- La pendiente $m$ indica la inclinación de la recta. Si $m > 0$ la función es creciente; si $m < 0$ es decreciente; si $m = 0$ es constante.
- La ordenada en el origen $n$ es el punto donde la recta corta al eje $Y$: el punto $(0, n)$.
Casos particulares
| Tipo | Expresión | Característica |
|---|---|---|
| Proporcionalidad directa | $y = mx$ | Pasa por el origen $(0, 0)$ |
| Función constante | $y = n$ | Recta horizontal, pendiente $m = 0$ |
| Función afín | $y = mx + n$ | Recta que no pasa por el origen si $n \neq 0$ |
Pendiente a partir de dos puntos
Si conocemos dos puntos de la recta, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, la pendiente se calcula como
Representar $y = 2x - 1$
Hacemos una tabla de valores:
| $x$ | $y = 2x - 1$ | Punto |
|---|---|---|
| $-1$ | $2(-1) - 1 = -3$ | $(-1, -3)$ |
| $0$ | $2(0) - 1 = -1$ | $(0, -1)$ |
| $1$ | $2(1) - 1 = 1$ | $(1, 1)$ |
| $2$ | $2(2) - 1 = 3$ | $(2, 3)$ |
Unimos los puntos y obtenemos una recta de pendiente $m = 2$ (creciente) que corta al eje $Y$ en $(0, -1)$.
Pendiente entre dos puntos
La recta que pasa por $A(1, 3)$ y $B(3, 7)$ tiene pendiente
Como $m = 2 > 0$, la función es creciente. Para hallar su ordenada en el origen usamos un punto: $y = 2x + n$, con $(1, 3)$ resulta $3 = 2 \cdot 1 + n$, de donde $n = 1$. La función es $y = 2x + 1$.
Punto de corte con el eje $X$
Para hallar dónde corta la recta al eje $X$ hacemos $y = 0$:
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente $m$. Por ejemplo, $y = 2x + 5$ y $y = 2x - 1$ son paralelas.
Errores comunes
- Confundir la pendiente $m$ con la ordenada en el origen $n$.
- Olvidar que $y = mx$ (con $n = 0$) sí pasa por el origen.
- Calcular la pendiente invirtiendo el orden de las restas: siempre es $(y_2 - y_1)$ dividido entre $(x_2 - x_1)$.