Problemas con sistemas de ecuaciones

Los problemas de sistemas de ecuaciones lineales se resuelven traduciendo el enunciado a dos ecuaciones con dos incógnitas.

Pasos para resolver un problema

1. Leer el enunciado con atención y entender qué se pregunta. 2. Elegir las incógnitas: asignar una letra a cada dato desconocido ($x$ e $y$). 3. Plantear el sistema: traducir cada frase del enunciado a una ecuación. 4. Resolver el sistema (por sustitución, igualación o reducción). 5. Comprobar que la solución cumple las dos ecuaciones. 6. Responder a la pregunta con la unidad adecuada.

Problema de números

La suma de dos números es 15 y su diferencia es 3. ¿Cuáles son los números?

Llamamos $x$ al mayor e $y$ al menor. El sistema es:

$$ x + y = 15 \qquad x - y = 3 $$

Sumamos las dos ecuaciones (método de reducción):

$$ 2x = 18 \Rightarrow x = 9 $$

Sustituimos en la primera: $9 + y = 15 \Rightarrow y = 6$.

Solución: los números son 9 y 6. Comprobación: $9 + 6 = 15$ y $9 - 6 = 3$.

Problema de animales

En una granja hay 35 animales entre conejos y gallinas. En total se cuentan 94 patas. ¿Cuántos conejos y cuántas gallinas hay?

Llamamos $x$ al número de conejos e $y$ al de gallinas. Cada conejo tiene 4 patas y cada gallina 2, así que:

$$ x + y = 35 \qquad 4x + 2y = 94 $$

Despejamos $y = 35 - x$ en la primera y sustituimos en la segunda:

$$ 4x + 2(35 - x) = 94 \Rightarrow 4x + 70 - 2x = 94 \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12 $$

Entonces $y = 35 - 12 = 23$.

Solución: hay 12 conejos y 23 gallinas. Comprobación: $12 + 23 = 35$ y $4 \cdot 12 + 2 \cdot 23 = 48 + 46 = 94$.

Problema de compras

En un cine, la entrada de adulto cuesta 8 € y la de infantil 4 €. Se vendieron 50 entradas y se recaudaron 320 €. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

Llamamos $a$ al número de entradas de adulto e $i$ al de infantiles:

$$ a + i = 50 \qquad 8a + 4i = 320 $$

De la primera, $i = 50 - a$. Sustituyendo:

$$ 8a + 4(50 - a) = 320 \Rightarrow 8a + 200 - 4a = 320 \Rightarrow 4a = 120 \Rightarrow a = 30 $$

Entonces $i = 50 - 30 = 20$.

Solución: 30 entradas de adulto y 20 de infantil. Comprobación: $30 + 20 = 50$ y $8 \cdot 30 + 4 \cdot 20 = 240 + 80 = 320$.

Consejos

  • Define siempre las incógnitas antes de escribir las ecuaciones.
  • Comprueba que la solución tiene sentido en el contexto del problema (no puede haber un número negativo de animales, por ejemplo).
  • Si el resultado no verifica las ecuaciones, revisa el planteamiento antes que los cálculos.

1. La suma de dos números es 20 y su diferencia es 4. ¿Cuál es el número mayor? (1 puntos)

2. En una granja hay 40 animales entre conejos y gallinas, y en total se cuentan 100 patas. ¿Cuántos conejos hay? (1 puntos)

3. Ana tiene el doble de edad que Luis. Entre los dos suman 36 años. ¿Qué ecuación expresa la primera condición? (1 puntos)

4. La suma de las edades de Pedro y María es 45 años, y Pedro tiene 5 años más que María. Calcula: (1 puntos)

a ) a) La edad de María.

b ) b) La edad de Pedro.

5. Un bolígrafo cuesta 1 € más que un lápiz. Si 2 bolígrafos y 3 lápices cuestan 7 €, ¿qué sistema representa el problema? (1 puntos)

6. Resuelve el problema anterior: ¿cuánto cuesta el lápiz? (1 puntos)

7. ¿Cuál es el último paso para resolver un problema con un sistema de ecuaciones? (1 puntos)

8. ¿Qué método de resolución consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituir su expresión en la otra? (1 puntos)