¿Qué es una función?
Una función es una relación entre dos magnitudes (variables) en la que a cada valor de la primera variable le corresponde un único valor de la segunda.
- La variable independiente ($x$) es la que elegimos libremente.
- La variable dependiente ($y$) es la que queda determinada por $x$. Se escribe $y = f(x)$.
Por ejemplo, el coste de comprar manzanas depende de los kilogramos que compres: $y = 2{,}5x$ (a 2,50 € el kilogramo).
Formas de expresar una función
| Forma | Ejemplo |
|---|---|
| Fórmula | $f(x) = 3x + 2$ |
| Tabla de valores | Pares $(x, y)$ calculados con la fórmula |
| Gráfica | Conjunto de puntos en el plano cartesiano |
| Enunciado | "El doble de un número más dos" |
Dominio y recorrido
- El dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente $x$.
- El recorrido (o imagen) es el conjunto de valores que toma la variable dependiente $y$.
Por ejemplo, en la función $f(x) = x^2$, el dominio es todos los números reales, pero el recorrido solo son los números mayores o iguales que 0.
tabla de valores de $f(x) = x^2 - 1$
| $x$ | $f(x) = x^2 - 1$ | Punto |
|---|---|---|
| $-2$ | $(-2)^2 - 1 = 3$ | $(-2, 3)$ |
| $-1$ | $(-1)^2 - 1 = 0$ | $(-1, 0)$ |
| $0$ | $0^2 - 1 = -1$ | $(0, -1)$ |
| $1$ | $1^2 - 1 = 0$ | $(1, 0)$ |
| $2$ | $2^2 - 1 = 3$ | $(2, 3)$ |
Cada valor de $x$ produce un único valor de $f(x)$: es una función.
La prueba de la línea vertical
Para saber si una gráfica corresponde a una función, trazamos líneas verticales imaginarias: si alguna corta la gráfica en más de un punto, no es una función.
Por ejemplo, una circunferencia no es la gráfica de una función, porque una línea vertical puede cortarla en dos puntos. En cambio, una recta inclinada sí lo es.
Funciones con valores discretos
A veces la variable independiente solo puede tomar ciertos valores: por ejemplo, el número de hermanos de cada alumno ($0, 1, 2, 3...$). En ese caso hablamos de una función discreta, y su gráfica son puntos sueltos, no una línea continua.
Errores comunes
- Confundir variable independiente y dependiente: la $y$ nunca se elige libremente, depende de $x$.
- Pensar que toda gráfica es una función: recuerda la prueba de la línea vertical.
- Olvidar que en una función cada $x$ tiene una sola imagen $y$.