Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones como

$$ ax + by = c \qquad dx + ey = f $$

Resolver el sistema es encontrar los valores de $x$ e $y$ que cumplen las dos ecuaciones a la vez.

Geométricamente, cada ecuación es una recta, y la solución del sistema es el punto donde se cortan.

Métodos de resolución

Método	Idea principal
Sustitución	Despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra
Igualación	Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar
Reducción	Sumar o restar las ecuaciones (multiplicándolas antes si hace falta) para eliminar una incógnita

resuelto por reducción

Resolvemos el sistema

$$ 2x + y = 7 \qquad x - y = 2 $$

Sumamos las dos ecuaciones para eliminar la $y$:

$$ 3x = 9 \Rightarrow x = 3 $$

Sustituimos $x = 3$ en la primera: $2 \cdot 3 + y = 7 \Rightarrow y = 1$.

Solución: $x = 3$, $y = 1$. Comprobación: $2 \cdot 3 + 1 = 7$ y $3 - 1 = 2$.

resuelto por sustitución

Resolvemos el sistema

$$ x + 2y = 7 \qquad 3x - y = 0 $$

Despejamos $y$ en la segunda: $y = 3x$. Sustituimos en la primera:

$$ x + 2(3x) = 7 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1 $$

Entonces $y = 3 \cdot 1 = 3$.

Solución: $x = 1$, $y = 3$. Comprobación: $1 + 6 = 7$ y $3 - 3 = 0$.

Clasificación de los sistemas

Tipo	Soluciones	Significado geométrico
Compatible determinado	Una única solución	Las rectas se cortan en un punto
Incompatible	Ninguna solución	Las rectas son paralelas
Compatible indeterminado	Infinitas soluciones	Las dos ecuaciones representan la misma recta

Por ejemplo, el sistema $x + y = 5$ y $2x + 2y = 10$ es compatible indeterminado: la segunda ecuación es el doble de la primera, así que ambas representan la misma recta.

Errores comunes

Al despejar, olvidar cambiar los signos al pasar términos al otro lado.
No comprobar la solución en las dos ecuaciones: solo vale si cumple ambas.
Confundir incompatible con indeterminado: incompatible no tiene solución; indeterminado tiene infinitas.

1. Para resolver el sistema $x + y = 5$, $x - y = 1$, ¿qué método es más directo? (1 puntos)

Sustitución Igualación Reducción (sumar las ecuaciones) Ninguno de ellos

Retroalimentación: Al sumar las ecuaciones la $y$ desaparece: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$, y entonces $y = 2$.

2. Resuelve el sistema $2x + y = 8$ y $x - y = 1$. ¿Cuánto vale $x$? (1 puntos)

Retroalimentación: Sumando las ecuaciones: $3x = 9 \Rightarrow x = 3$. Entonces $y = 8 - 6 = 2$, y se cumple $3 - 2 = 1$.

3. El sistema $x + y = 5$ y $2x + 2y = 10$ tiene: (1 puntos)

Una única solución Ninguna solución Infinitas soluciones (compatible indeterminado) Dos soluciones distintas

Retroalimentación: La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que ambas representan la misma recta: hay infinitas soluciones.

4. Resuelve el sistema $x + 2y = 7$ y $3x - y = 0$. Indica: (1 puntos)

a ) a) El valor de $x$.

b ) b) El valor de $y$.

Retroalimentación: Despejamos $y = 3x$ en la segunda ecuación y sustituimos: $x + 6x = 7 \Rightarrow x = 1$, luego $y = 3$.

5. ¿Qué significa que un sistema de ecuaciones sea incompatible? (1 puntos)

Que tiene infinitas soluciones Que las rectas son paralelas y no hay solución Que las rectas se cortan en dos puntos Que solo se puede resolver por igualación

Retroalimentación: Un sistema incompatible no tiene solución: las dos rectas son paralelas y nunca se cortan.

6. ¿Qué método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas? (1 puntos)

Retroalimentación: El método de igualación: se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las dos expresiones, quedando una ecuación con una sola incógnita.

7. Comprobar que $(x, y) = (3, 1)$ es solución de un sistema significa que: (1 puntos)

Solo cumple la primera ecuación Cumple las dos ecuaciones al sustituir los valores Las rectas son paralelas El sistema es indeterminado

Retroalimentación: Una solución debe verificar las dos ecuaciones a la vez. Por eso siempre se comprueba sustituyendo en ambas.

8. Geométricamente, la solución de un sistema compatible determinado es: (1 puntos)

El punto donde se cortan las dos rectas El punto donde una recta corta al eje $X$ El origen de coordenadas Cualquier punto de la primera recta

Retroalimentación: Cada ecuación es una recta; el punto de corte de ambas es la única solución del sistema.