Trigonometría

La trigonometría estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Empezamos por los triángulos rectángulos, que tienen un ángulo de $90^{\circ}$.

En un triángulo rectángulo, con respecto a un ángulo agudo $\alpha$:

  • La hipotenusa es el lado más largo, opuesto al ángulo recto.
  • El cateto opuesto a $\alpha$ es el lado que está frente al ángulo.
  • El cateto contiguo a $\alpha$ es el otro lado que forma el ángulo.

Razones trigonométricas

$$ \sin \alpha = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} $$
$$ \cos \alpha = \frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}} $$
$$ \tan \alpha = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}} $$

Además, se cumple la relación fundamental:

$$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$

y también $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

Ángulos notables

Ángulo$\sin$$\cos$$\tan$
$30^{\circ}$$\frac{1}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^{\circ}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$1$
$60^{\circ}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$
razones en un triángulo 3-4-5

En un triángulo rectángulo con catetos 3 y 4, la hipotenusa mide $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Para el ángulo $\alpha$ opuesto al cateto de 3:

$$ \sin \alpha = \frac{3}{5} = 0{,}6 \qquad \cos \alpha = \frac{4}{5} = 0{,}8 \qquad \tan \alpha = \frac{3}{4} = 0{,}75 $$

Comprobamos la relación fundamental: $0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$.

altura con una escalera

Una escalera de 5 m apoyada en una pared forma un ángulo de $60^{\circ}$ con el suelo. La altura alcanzada $h$ cumple:

$$ \sin 60^{\circ} = \frac{h}{5} \Rightarrow h = 5 \cdot \sin 60^{\circ} = 5 \cdot 0{,}866 \approx 4{,}33 \text{ m} $$

Errores comunes

  • Confundir el cateto opuesto con el contiguo: depende de cuál sea el ángulo que se estudia.
  • Usar la tangente cuando el problema pide el seno o el coseno: revisa siempre qué lados intervienen.
  • Olvidar que las razones trigonométricas son cocientes de longitudes, por lo que no tienen unidades.

1. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo $\alpha$ es: (1 puntos)

2. ¿Cuánto vale $\tan 45^{\circ}$? (1 puntos)

3. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo $\alpha$ mide 4 cm y la hipotenusa 5 cm. ¿Cuánto vale $\sin \alpha$? (Escribe el resultado con dos cifras decimales) (1 puntos)

4. Usando la tabla de ángulos notables, indica el valor de: (1 puntos)

a ) a) $\sin 30^{\circ}$

b ) b) $\cos 30^{\circ}$ (dos cifras decimales)

5. La relación fundamental de la trigonometría es: (1 puntos)

6. Una escalera de 5 m apoyada en una pared forma un ángulo de $60^{\circ}$ con el suelo. ¿Qué altura alcanza la escalera? (usa $\sin 60^{\circ} \approx 0{,}866$; escribe el resultado con dos cifras decimales) (1 puntos)

7. Si en un triángulo rectángulo el ángulo $\alpha = 30^{\circ}$ y la hipotenusa mide 10 cm, el cateto opuesto a $\alpha$ mide: (1 puntos)

8. ¿Cómo se llama el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo de un ángulo? (1 puntos)