El Teorema de Tales

El teorema de Tales tiene dos enunciados muy utilizados en geometría.

Primer teorema: segmentos proporcionales

Si tres rectas paralelas $a$, $b$ y $c$ son cortadas por dos rectas transversales $r$ y $s$, los segmentos que determinan son proporcionales:

$$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} $$

También se cumple que $\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}$: las partes que cortan en una transversal guardan la misma razón que las partes de la otra.

cálculo de un segmento desconocido

Dos rectas paralelas cortadas por dos transversales determinan $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm y $A'B' = 2$ cm. Calcula $B'C'$.

$$ \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{2}{x} $$

Multiplicamos en cruz: $4x = 6 \cdot 2 = 12$, de donde $x = 12 : 4 = 3$ cm.

Segundo teorema: triángulos semejantes

Si en un triángulo $ABC$ trazamos una recta paralela al lado $BC$ que corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $A'$ y $C'$, entonces se cumple:

$$ \frac{AA'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{A'C'}{BC} $$

Es decir, el triángulo pequeño $AA'C'$ es semejante al triángulo grande $ABC$: sus lados son proporcionales y sus ángulos son iguales.

triángulo con paralela interior

En un triángulo $ABC$, la recta $DE$ es paralela a $BC$, con $AD = 3$ cm, $DB = 2$ cm y $AE = 4$ cm. Calcula $EC$.

El lado $AB$ mide $3 + 2 = 5$ cm. Aplicamos la proporción:

$$ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{4}{4 + EC} $$

Multiplicamos en cruz: $3(4 + EC) = 20 \Rightarrow 12 + 3EC = 20 \Rightarrow 3EC = 8$, así que $EC = 8/3 \approx 2{,}67$ cm.

Aplicación: medir alturas con sombras

El teorema de Tales permite calcular la altura de un objeto usando la sombra que proyecta, porque los rayos del sol se consideran paralelos: el objeto, su sombra y el rayo forman un triángulo rectángulo semejante al que forman un bastón y su sombra.

altura de un árbol

Un árbol proyecta una sombra de 12 m. A la misma hora, un bastón de 1,5 m proyecta una sombra de 2 m. ¿Cuánto mide el árbol?

$$ \frac{\text{altura árbol}}{\text{sombra árbol}} = \frac{\text{altura bastón}}{\text{sombra bastón}} \Rightarrow \frac{h}{12} = \frac{1{,}5}{2} $$
$$ h = \frac{1{,}5 \cdot 12}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ m} $$

El árbol mide 9 metros.

Errores comunes

  • Confundir las razones: hay que emparejar segmentos que estén en la misma posición (los de una transversal con los de la otra), nunca cruzar los datos al azar.
  • Olvidar sumar para el lado completo: cuando la paralela corta a un lado, el lado entero es la suma de los dos trozos ($AB = AA' + A'B$).
  • Mezclar unidades: todos los segmentos deben expresarse en la misma unidad antes de plantear la proporción.

1. ¿Cuál es el enunciado correcto del primer teorema de Tales? (1 puntos)

2. Dos rectas paralelas cortadas por dos transversales determinan $AB = 5$ cm, $BC = 3$ cm y $A'B' = 10$ cm. ¿Cuánto mide $B'C'$? (1 puntos)

3. En un triángulo $ABC$, la recta $DE$ es paralela a $BC$ y corta a los lados $AB$ y $AC$. ¿Cuál de estas proporciones es correcta? (1 puntos)

4. Un bastón de 1,2 m proyecta una sombra de 1,8 m. A la misma hora, un árbol proyecta una sombra de 7,5 m. ¿Cuánto mide el árbol? (1 puntos)

5. En un triángulo $ABC$, la recta $DE$ es paralela a $BC$, con $AD = 2$ cm, $DB = 3$ cm y $AE = 3$ cm. Calcula los apartados. (1 puntos)

a ) Apartado a) ¿Cuánto mide $EC$?

b ) Apartado b) ¿Cuánto vale la razón $\frac{DE}{BC}$? (escribe el resultado como decimal)