Volumen y área de figuras 3D

Cuerpos geométricos: área y volumen

El área de un cuerpo mide la superficie que lo recubre (se expresa en unidades cuadradas, como $\text{cm}^2$) y el volumen mide el espacio que ocupa (en unidades cúbicas, como $\text{cm}^3$).

Prismas y cilindros

Un prisma tiene dos bases iguales y caras laterales rectangulares; un cilindro es un prisma "redondeado" con bases circulares.

Fórmula	Prisma	Cilindro
Área lateral	$A_L = P_{base} \cdot h$	$A_L = 2\pi r h$
Área total	$A_T = A_L + 2 \cdot A_{base}$	$A_T = 2\pi r (h + r)$
Volumen	$V = A_{base} \cdot h$	$V = \pi r^2 h$

Donde $P_{base}$ es el perímetro de la base, $A_{base}$ su área, $h$ la altura y $r$ el radio.

ortoedro (prisma rectangular)

Un prisma rectangular mide 5 cm de largo, 3 cm de ancho y 2 cm de alto.

$$ V = A_{base} \cdot h = (5 \cdot 3) \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30 \text{ cm}^3 $$

$$ A_T = 2(5 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 \cdot 2) = 2(15 + 10 + 6) = 2 \cdot 31 = 62 \text{ cm}^2 $$

Pirámides y conos

Una pirámide ocupa la tercera parte del prisma con su misma base y altura; un cono, la tercera parte del cilindro correspondiente.

Fórmula	Pirámide	Cono
Área lateral	$A_L = \text{suma de las caras triangulares}$	$A_L = \pi r g$
Área total	$A_T = A_L + A_{base}$	$A_T = \pi r (r + g)$
Volumen	$V = \frac{1}{3} A_{base} \cdot h$	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

La generatriz $g$ del cono se relaciona con el radio y la altura por Pitágoras: $g^2 = r^2 + h^2$.

cono de radio 3 cm y altura 4 cm

Primero hallamos la generatriz: $g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm.

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}7 \text{ cm}^3 $$

$$ A_T = \pi r (r + g) = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 24\pi \approx 75{,}4 \text{ cm}^2 $$

La esfera

Fórmula	Esfera
Área	$A = 4\pi r^2$
Volumen	$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

esfera de radio 3 cm

$$ V = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^3 $$

$$ A = 4\pi \cdot 3^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \approx 113{,}1 \text{ cm}^2 $$

Unidades de volumen y capacidad

$1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1,000,000 \text{ cm}^3$ (de una unidad a la siguiente se multiplica o divide por 1000).
La capacidad se relaciona con el volumen: $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$, por lo que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}$.

pirámide de base cuadrada

Una pirámide tiene base cuadrada de lado 6 cm y altura 4 cm.

$$ A_{base} = 6^2 = 36 \text{ cm}^2, \quad V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48 \text{ cm}^3 $$

Errores comunes

Confundir área y volumen: las áreas usan unidades al cuadrado y los volúmenes al cubo.
Olvidar el factor $1/3$ en pirámides y conos.
Usar el diámetro en lugar del radio en las fórmulas del círculo.
Cambiar de unidad sin usar el factor 1000 entre $\text{m}^3$, $\text{dm}^3$ y $\text{cm}^3$.

1. ¿Cuál es la fórmula del volumen de un cilindro de radio $r$ y altura $h$? (1 puntos)

$V = \pi r^2 h$ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ $V = 2\pi r h$ $V = \pi r^2 + h$

Retroalimentación: El cilindro es como un prisma de base circular: volumen $=$ área de la base por altura, es decir $V = \pi r^2 h$. El factor $\frac{1}{3}$ es del cono.

2. Un prisma rectangular mide 4 cm de largo, 3 cm de ancho y 2 cm de alto. ¿Cuál es su volumen en $\text{cm}^3$? (1 puntos)

Retroalimentación: El volumen es $V = A_{base} \cdot h = (4 \cdot 3) \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$ $\text{cm}^3$.

3. Una esfera tiene radio 2 cm. Calcula los apartados (usa $\pi \approx 3{,}14$). (1 puntos)

a ) Apartado a) Volumen (en $\text{cm}^3$)

b ) Apartado b) Área (en $\text{cm}^2$)

Retroalimentación: a) $V = \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3} \approx 33{,}49$ $\text{cm}^3$. b) $A = 16\pi \approx 50{,}24$ $\text{cm}^2$.

4. ¿A cuántos litros equivale un volumen de 3 $\text{dm}^3$? (1 puntos)

0,3 L 3 L 30 L 300 L

Retroalimentación: Por la equivalencia entre volumen y capacidad, $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$. Por tanto, $3 \text{ dm}^3 = 3$ L.

5. Un cono tiene radio 2 cm y altura 6 cm. ¿Cuál es su volumen en $\text{cm}^3$ (con $\pi \approx 3{,}14$)? (1 puntos)

Retroalimentación: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 6 = 8\pi \approx 25{,}12$ $\text{cm}^3$.

6. Una pirámide tiene base cuadrada de lado 6 cm y altura 9 cm. ¿Cuál es su volumen en $\text{cm}^3$? (1 puntos)

Retroalimentación: $A_{base} = 6^2 = 36$ $\text{cm}^2$ y $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 108$ $\text{cm}^3$.