La clasificación de los números
Los números se organizan en conjuntos, cada uno dentro del siguiente:
- Naturales ($\mathbb{N}$): $0, 1, 2, 3, ...$ (en algunos libros empiezan en 1). Sirven para contar.
- Enteros ($\mathbb{Z}$): los naturales y sus opuestos: $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$
- Racionales ($\mathbb{Q}$): todos los que se pueden escribir como fracción $\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ enteros y $b \neq 0$. Incluyen los enteros ($3 = \frac{3}{1}$).
- Irracionales: los que no se pueden escribir como fracción: su expresión decimal es infinita y no periódica. Ejemplos: $\pi$, $\sqrt{2}$, $e$.
- Reales ($\mathbb{R}$): la unión de racionales e irracionales. Son todos los números de la recta numérica.
Decimales y fracciones
Los números racionales se expresan como decimales de tres tipos:
| Tipo de decimal | Ejemplo | Fracción |
|---|---|---|
| Exacto (termina) | $0{,}75$ | $\frac{3}{4}$ |
| Periódico puro (el periodo empieza tras la coma) | $0{,}333... = 0,\overline{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
| Periódico mixto (hay anteperiodo) | $0{,}1666... = 0{,}1\overline{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
Todo decimal exacto o periódico es racional. Un decimal infinito no periódico es irracional.
Fracción generatriz
La fracción generatriz de un decimal es la fracción irreducible que lo produce.
decimal exacto
$0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
La fracción generatriz es $\frac{3}{4}$.
periódico puro
Para $0,\overline{3}$ llamamos $x = 0{,}333...$ y multiplicamos por 10:
$$
10x = 3{,}333... \Rightarrow 10x - x = 3 \Rightarrow 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{3}
$$
Irracionales famosos
- $\pi \approx 3{,}14159...$ (relación entre la circunferencia y el diámetro).
- $\sqrt{2} \approx 1{,}41421...$ (la diagonal de un cuadrado de lado 1).
- Cuidado: $\sqrt{9} = 3$ sí es racional; solo las raíces que no son exactas son irracionales.
Representación en la recta real
Cada número real ocupa un punto de la recta. Entre dos números reales cualesquiera hay infinitos números (los racionales son densos), pero los irracionales ocupan los huecos que dejan las fracciones.
Errores comunes
- Pensar que todas las raíces son irracionales: $\sqrt{25} = 5$ es racional.
- Creer que todo decimal con muchos dígitos es irracional: solo lo son los que no son exactos ni periódicos.
- Confundir los conjuntos: todo natural es entero, todo entero es racional, pero no al revés.