Potencias, Raíces y Logaritmos — 3º ESO
Simplificación de radicales:
$$
\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} \qquad \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}
$$
Racionalización:
$$
\frac{k}{\sqrt{a}} = \frac{k\sqrt{a}}{a} \qquad \frac{k}{\sqrt{a}\pm\sqrt{b}} = \frac{k(\sqrt{a}\mp\sqrt{b})}{a-b}
$$
Logaritmos:
$$
\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b
$$
Propiedades de logaritmos:
$$
\log(a \cdot b) = \log a + \log b
$$
$$
\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b
$$
$$
\log(a^n) = n \cdot \log a
$$
1. Simplifica $\sqrt[3]{27}$.
(1 punto)
Retroalimentación: $\sqrt[3]{27} = 3$ porque $3^3 = 27$.
2. Simplifica $\sqrt{72}$. Escribe el coeficiente del radical (ej: $6\sqrt{2}$ → responde $6$).
(1 punto)
Retroalimentación: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$. Coeficiente: $6$.
3. Racionaliza $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$. ¿Cuánto vale el resultado?
(1 punto)
Retroalimentación: $\dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \approx 4.472$.
4. Calcula $\log_2 32$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $\log_2 32 = x \Rightarrow 2^x = 32 = 2^5 \Rightarrow x = 5$.
5. Calcula $\log 1000$ (logaritmo decimal).
(1 punto)
Retroalimentación: $\log 1000 = \log 10^3 = 3$.
6. Usando las propiedades: $\log 24 = \log(8 \times 3) = ?$ Si $\log 2 \approx 0.301$ y $\log 3 \approx 0.477$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $\log 24 = \log(2^3 \times 3) = 3\log 2 + \log 3 = 3(0.301) + 0.477 = 0.903 + 0.477 = 1.380$.
7. Opera: $\dfrac{\sqrt{50} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$. Escribe el resultado entero.
(2 puntos)
Retroalimentación: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Por tanto $\dfrac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6$.