Propiedades de las potencias
Con la misma base $a \neq 0$ se cumplen estas propiedades:
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ |
| Cociente | $a^m : a^n = a^{m-n}$ | $5^6 : 5^2 = 5^4$ |
| Potencia de potencia | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(3^2)^3 = 3^6$ |
| Exponente cero | $a^0 = 1$ | $7^0 = 1$ |
| Exponente negativo | $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | $2^{-2} = \frac{1}{4}$ |
Propiedades de las raíces
Para $a, b \geq 0$ (en raíces de índice par) y cualquier signo en índice impar:
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto | $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ | $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$ |
| Cociente | $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ | $\sqrt{50} : \sqrt{2} = \sqrt{25} = 5$ |
| Raíz de raíz | $\sqrt{\sqrt{a}} = \sqrt[4]{a}$ | $\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2$ |
| Raíz de potencia | $\sqrt{a^2} = a$ (si $a \geq 0$) | $\sqrt{9^2} = 9$ |
Extraer factores de un radical
Para simplificar una raíz, se descompone el radicando en factores y se extraen los que se repiten según el índice.
extraer factores
$\sqrt{18}$
Descomponemos: $18 = 9 \cdot 2 = 3^2 \cdot 2$, luego
$$
\sqrt{18} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}
$$
raíz cúbica
$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$
Expresiones combinadas
Se aplica la jerarquía habitual (paréntesis, potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas), usando las propiedades para simplificar.
producto de potencias
$2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$
con raíces y cociente
$\sqrt{32} : \sqrt{2} = \sqrt{32 : 2} = \sqrt{16} = 4$
combinado completo
Calcula $2 \cdot \sqrt{27} + \sqrt{3}$.
Extraemos factores: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
$$
2 \cdot 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 1\sqrt{3} = 7\sqrt{3}
$$
Errores comunes
- Sumar exponentes al multiplicar potencias con distinta base: $2^3 \cdot 3^2$ no se puede simplificar así.
- Creer que $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$: es falso, por ejemplo $\sqrt{9 + 16} = 5 \neq 3 + 4 = 7$.
- Olvidar que $a^{-n}$ es una fracción, no un número negativo.
- No extraer todos los factores posibles al simplificar un radical.