¿Qué es una ecuación de segundo grado?
Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene la forma general:
$$
ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0
$$
Sus soluciones se obtienen con la fórmula general:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
El discriminante
El número $\Delta = b^2 - 4ac$ se llama discriminante y determina el número de soluciones:
| Discriminante | Número de soluciones |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dos soluciones reales distintas |
| $\Delta = 0$ | Una solución doble |
| $\Delta < 0$ | Ninguna solución real |
resuelto: $x^2 - 5x + 6 = 0$
1. Identificamos $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$ 2. Discriminante: $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ 3. Aplicamos la fórmula: $x = \frac{5 \pm 1}{2}$ 4. Soluciones: $x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ y $x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ 5. Comprobación: $9 - 15 + 6 = 0$ y $4 - 10 + 6 = 0$ ✓
Ecuaciones incompletas
- Sin término lineal ($b = 0$): $ax^2 + c = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$, si $-\frac{c}{a} \geq 0$.
- Sin término independiente ($c = 0$): $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax + b) = 0$, luego $x = 0$ o $x = -\frac{b}{a}$.
Ejemplos resueltos
- $2x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
- $x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 5$
- $x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3$ (solución doble)
Suma y producto de las soluciones
Si las soluciones son $x_1$ y $x_2$ (teorema de Vieta):
$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{y} \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}
$$
Consejo: cuando el discriminante sea un cuadrado perfecto, factoriza el polinomio: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.