¿Qué es una expresión algebraica?

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por operaciones. Las letras, llamadas variables, representan valores desconocidos o que pueden variar.

Ejemplos: $3x + 2$, $x^2 - 4x + 1$, $\dfrac{a + b}{2}$.

Monomios y polinomios

Un monomio es una expresión de la forma $ax^n$, donde $a$ es el coeficiente y $n$ el grado (número natural).

Un polinomio es la suma de varios monomios. Por ejemplo, en $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$:

  • Términos: $2x^3$, $-5x^2$, $3x$ y $-1$ (término independiente)
  • Grado del polinomio: el mayor de los grados de sus términos, aquí 3
  • Coeficiente principal: el coeficiente del término de mayor grado, aquí 2

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de $P(x)$ en $x = a$ se obtiene sustituyendo la variable por el número y operando.

$P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ en $x = 2$

$P(2) = 2 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 1 = 16 - 20 + 6 - 1 = 1$

Una raíz de un polinomio es un valor $x = a$ tal que $P(a) = 0$. Por ejemplo, en $Q(x) = x^2 - 1$, las raíces son $x = 1$ y $x = -1$, pues $1^2 - 1 = 0$ y $(-1)^2 - 1 = 0$.

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal (misma variable y mismo exponente). Así, $3x^2$ y $-7x^2$ son semejantes, pero $3x^2$ y $3x^3$ no lo son.

Solo se pueden sumar o restar monomios semejantes, sumando sus coeficientes:

$$ 3x^2 + (-7x^2) = -4x^2 $$

Errores frecuentes

  • Confundir el grado del polinomio con el número de términos.
  • Considerar semejantes monomios con distinto exponente ($2x$ y $2x^2$).
  • Olvidar que el término independiente es también un término del polinomio.

Consejo: para calcular el valor numérico, respeta la jerarquía de las operaciones (primero potencias, después productos y finalmente sumas).

1. ¿Cuál es el grado del polinomio $3x^4 - 2x^2 + x - 7$? (1 puntos)

2. Dado $P(x) = 2x^2 - 3x + 5$, ¿cuánto vale $P(2)$? (1 puntos)

3. ¿Qué par de monomios son semejantes? (1 puntos)

4. Dado $P(x) = x^3 - 2x + 1$, ¿cuánto vale $P(-1)$? (1 puntos)

5. Calcula el valor numérico de cada polinomio: (1 puntos)

a ) $P(x) = x^2 - 1$ en $x = 3$

b ) $Q(x) = 2x + 1$ en $x = 4$

c ) $R(x) = x^2 - x$ en $x = 5$

6. En el monomio $5x^3$, ¿cuáles son el coeficiente y el grado? (1 puntos)

7. ¿Cuál es el término independiente de $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 4$? (1 puntos)