Las tres identidades notables
Las identidades notables son igualdades que se cumplen para cualquier valor de las variables:
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$
$$
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
$$
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
$$
La primera se demuestra desarrollando: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Cómo desarrollar un cuadrado
En un cuadrado hay que calcular tres términos:
1. El cuadrado del primer término: $a^2$ 2. El doble producto: $2ab$ (con el signo menos si es una diferencia) 3. El cuadrado del segundo término: $b^2$
Ejemplos resueltos
- $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
- $(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$
- $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$
- $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$
Factorizar con identidades notables
Las identidades también se usan en sentido inverso para factorizar polinomios:
- $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$
- $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
- $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$
Para reconocer un cuadrado perfecto, comprueba que el doble producto coincida con el término central.
Errores frecuentes
| Error | Correcto |
|---|---|
| $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| $(a - b)^2 = a^2 - b^2$ | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ |
| $(2x)^2 = 2x^2$ | $(2x)^2 = 4x^2$ |
Consejo: recuerda elevar al cuadrado también el coeficiente (por ejemplo, $(2x)^2 = 4x^2$) y no olvidar el doble producto.