¿Qué es un logaritmo?
El logaritmo en base $a$ de un número $b$ (con $a > 0$, $a \neq 1$ y $b > 0$) es el exponente al que hay que elevar la base $a$ para obtener $b$:
$$
\log_a b = x \Longleftrightarrow a^x = b
$$
Ejemplos básicos
- $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$
- $\log_{10} 1000 = 3$ porque $10^3 = 1000$
- $\log_5 \dfrac{1}{25} = -2$ porque $5^{-2} = \dfrac{1}{25}$
- $\log_3 1 = 0$ porque $3^0 = 1$
Los logaritmos más utilizados son el decimal ($\log x = \log_{10} x$) y el neperiano ($\ln x = \log_e x$).
Propiedades de los logaritmos
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Logaritmo del producto | $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ |
| Logaritmo del cociente | $\log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ |
| Logaritmo de una potencia | $\log_a x^n = n \cdot \log_a x$ |
| Logaritmo de una raíz | $\log_a \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n} \cdot \log_a x$ |
| Logaritmo de 1 | $\log_a 1 = 0$ |
| Logaritmo de la base | $\log_a a = 1$ |
Cambio de base
$$
\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}
$$
Esta fórmula permite calcular logaritmos en cualquier base con la calculadora (base 10 o base $e$).
resuelto: aplicar propiedades
Simplifica $\log_3 18 - \log_3 2$:
1. Es el logaritmo de un cociente: $\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \dfrac{18}{2}$ 2. Operamos: $\log_3 9$ 3. Como $9 = 3^2$: $\log_3 9 = 2$
Resultado: $\log_3 18 - \log_3 2 = 2$
resuelto: cambio de base
Calcula $\log_2 32$ aplicando el cambio de base a base 10:
$$
\log_2 32 = \frac{\log_{10} 32}{\log_{10} 2} = \frac{1{,}5051}{0{,}3010} \approx 5
$$
Comprobación: $2^5 = 32$, por lo que el resultado es exactamente 5. ✓
Errores comunes
| Error frecuente | Correcto |
|---|---|
| $\log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y$ | $\log_a (x + y)$ no se puede descomponer |
| $\log_a (x \cdot y) = \log_a x \cdot \log_a y$ | $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ |
| $\log_a x^n = (\log_a x)^n$ | $\log_a x^n = n \cdot \log_a x$ |
| $\dfrac{\log_a x}{\log_a y} = \log_a x - \log_a y$ | $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ |