Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número. Su relación es:
donde $k$ es la constante de proporcionalidad: $k = \dfrac{y}{x}$.
precio de la fruta
Si 2 kg de manzanas cuestan 3 €, la constante es $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ €/kg.
- 4 kg costarán $4 \cdot 1{,}5 = 6$ €
- 7 kg costarán $7 \cdot 1{,}5 = 10{,}5$ €
Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese mismo número:
obreros y tiempo
Si 3 obreros tardan 8 días en hacer una obra, el trabajo total es $3 \cdot 8 = 24$ obrero-días.
- Con 6 obreros tardarán $24 : 6 = 4$ días
- Con 4 obreros tardarán $24 : 4 = 6$ días
Regla de tres simple
La regla de tres simple relaciona dos magnitudes con tres datos conocidos y una incógnita $x$:
| Directa | Inversa |
|---|---|
| $a \longrightarrow b$ | $a \longrightarrow b$ |
| $c \longrightarrow x$ | $c \longrightarrow x$ |
| $x = \dfrac{b \cdot c}{a}$ | $x = \dfrac{a \cdot b}{c}$ |
En la proporcionalidad directa se multiplica en cruz; en la inversa se multiplican en línea.
Porcentajes y proporcionalidad
Un porcentaje es una proporción con denominador 100: el $p\%$ de una cantidad $C$ es $\dfrac{p}{100} \cdot C$.
- Aumento del $p\%$: multiplicar por $1 + \dfrac{p}{100}$
- Descuento del $p\%$: multiplicar por $1 - \dfrac{p}{100}$
aumento y descuento
- Un artículo de 80 € sube un 15%: $80 \cdot 1{,}15 = 92$ €
- Ese mismo artículo rebajado un 20%: $80 \cdot 0{,}80 = 64$ €
Regla de tres compuesta
Intervienen más de dos magnitudes. Se estudia cada relación por separado (directa o inversa) y se combinan los efectos multiplicando.
resuelto: regla de tres compuesta
3 máquinas producen 180 piezas en 2 horas. ¿Cuántas piezas producen 5 máquinas en 4 horas?
1. Más máquinas con las mismas horas producen más piezas: directa. 2. Más horas con las mismas máquinas producen más piezas: directa.
Resultado: 600 piezas.
Errores comunes
| Error | Correcto |
|---|---|
| Aplicar la regla de tres directa a magnitudes inversas | Identificar primero si la relación es directa o inversa |
| Sumar el porcentaje directamente: $200 + 15 = 215$ | $200 \cdot 1{,}15 = 230$ |
| Olvidar que $y = \dfrac{k}{x}$ cumple $x \cdot y = k$ | Comprobar con el producto constante |