Cálculo Diferencial — 4º ESO Académicas
Límites:
$$
\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \text{(el valor al que se aproxima } f \text{ cerca de } a\text{)}
$$
Reglas: $\lim[f \pm g] = \lim f \pm \lim g$; formas indeterminadas: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, … → simplificar.
Derivadas:
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
Reglas: $(fg)' = f'g + fg'$; $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$; $(f \circ g)' = f'(g) \cdot g'$
1. Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5)$.
(1 punto)
Retroalimentación: $3(2)^2 - 5 = 12 - 5 = 7$. Simplemente sustituye $x = 2$.
2. Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Forma indeterminada $\frac{0}{0}$. Factorizando: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \xrightarrow{x\to 3} 6$.
3. Deriva $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 7$. ¿Cuánto vale $f'(1)$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $f'(x) = 12x^2 - 4x + 5$. $f'(1) = 12 - 4 + 5 = 13$. (Corrección: $f'(x)=12x^2-4x+5$; $f'(1)=13$.)
4. Deriva $f(x) = (2x+1)^4$ usando la regla de la cadena. ¿Cuánto vale $f'(0)$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $f'(x) = 4(2x+1)^3 \cdot 2 = 8(2x+1)^3$. $f'(0) = 8 \cdot 1 = 8$.
5. ¿En qué punto de la función $f(x) = x^2 - 6x + 5$ la derivada es $0$? (coordenada $x$)
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $f'(x) = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$. Es el vértice de la parábola.