¿Qué es la derivada?
La derivada de una función $f$ en un punto $a$, que se escribe $f'(a)$, mide la razón de cambio instantánea de la función en ese punto. Geométricamente, $f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$.
Definición como límite
$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
$$
Si derivamos en un punto genérico $x$ obtenemos la función derivada $f'(x)$.
Reglas de derivación básicas
| Función | Derivada |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ |
| $k \cdot f(x)$ | $k \cdot f'(x)$ |
| $f(x) + g(x)$ | $f'(x) + g'(x)$ |
resuelto: derivar un polinomio
Deriva $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$:
$$
f'(x) = 3 \cdot 2x - 2 + 0 = 6x - 2
$$
Regla de la cadena (casos sencillos)
Si $u = u(x)$ es una función, entonces:
$$
\left(u^n\right)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'
$$
$f(x) = (2x + 1)^3$:
$f(x) = (2x + 1)^3$:
$$
f'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2
$$
Regla del producto y del cociente
$$
(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'
$$
$$
\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}
$$
resuelto: regla del producto
$f(x) = (x^2 + 1)(x - 1)$, con $f'(x) = 2x$ y $g'(x) = 1$:
$$
f'(x) = 2x(x - 1) + (x^2 + 1) \cdot 1 = 2x^2 - 2x + x^2 + 1 = 3x^2 - 2x + 1
$$
Recta tangente
La recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = a$ tiene por ecuación:
$$
y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)
$$
resuelto paso a paso
Halla la recta tangente a $f(x) = x^2$ en $x = 1$:
1. $f(1) = 1^2 = 1$ 2. $f'(x) = 2x$, luego $f'(1) = 2$ 3. Sustituimos en la fórmula: $y - 1 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x - 1$
La recta tangente es $y = 2x - 1$.
Errores comunes
- Derivar $x^2$ como $2$: hay que restar 1 al exponente, $f'(x) = 2x$.
- Creer que $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$: la regla del producto exige la suma de los dos productos cruzados.
- Derivar una constante y que el resultado no sea 0.