Derivada como velocidad
Si $s(t)$ es la posición de un móvil en el instante $t$, entonces:
- Velocidad: $v(t) = s'(t)$
- Aceleración: $a(t) = v'(t) = s''(t)$
resuelto: movimiento rectilíneo
Un coche se mueve según $s(t) = t^2 + 3t$ (metros, con $t$ en segundos).
1. Velocidad: $v(t) = s'(t) = 2t + 3$ 2. En $t = 2$ s: $v(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7$ m/s 3. Aceleración: $a(t) = v'(t) = 2$ m/s$^2$ (constante)
Coste marginal
El coste marginal $C'(x)$ aproxima el coste de producir una unidad adicional cuando ya se producen $x$ unidades.
Si producir $x$ unidades cuesta $C(x) = x^2 + 10x + 100$ €, el coste marginal es:
Si producir $x$ unidades cuesta $C(x) = x^2 + 10x + 100$ €, el coste marginal es:
Cuando se producen 20 unidades, cada unidad extra cuesta aproximadamente $C'(20) = 2 \cdot 20 + 10 = 50$ €.
Optimización con derivadas
Para hallar máximos y mínimos de una función:
1. Escribir la función a optimizar en función de una sola variable. 2. Derivar e igualar a 0: $f'(x) = 0$. 3. Comprobar con el signo de $f'$ o con la segunda derivada que se trata de un máximo o un mínimo.
resuelto: área máxima
Con 20 m de valla se quiere cercar un terreno rectangular. Si un lado mide $x$, el otro mide $10 - x$, y el área es:
Derivamos e igualamos a 0:
Como $A''(x) = -2 < 0$, es un máximo. El área máxima es:
El rectángulo óptimo es un cuadrado de lado 5 m.
Altura máxima de un lanzamiento
resuelto
Una pelota lanzada hacia arriba sigue la trayectoria $h(t) = -5t^2 + 20t$ (metros).
1. La altura máxima se alcanza cuando $h'(t) = 0$: $h'(t) = -10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2$ s 2. Altura máxima: $h(2) = -5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 = -20 + 40 = 20$ m
La pelota alcanza 20 m en el instante $t = 2$ s.
Errores comunes
- Confundir posición con velocidad: la velocidad es la derivada de la posición.
- Olvidar comprobar si el punto crítico es máximo o mínimo.
- Interpretar el coste marginal como el coste total de la unidad $x$ en lugar del coste adicional.