Estadística Bidimensional — 4º ESO Académicas

Covarianza: $\sigma_{xy} = \overline{xy} - \bar{x}\bar{y}$

Correlación de Pearson: $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}$

  • $r \in [-1, 1]$; si $|r|$ próximo a $1$ → correlación fuerte; si próximo a $0$ → débil.

Recta de regresión de $Y$ sobre $X$:

$$ y - \bar{y} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x - \bar{x}) $$

Interpretación:

  • $r > 0$: relación directa (ambas variables crecen juntas)
  • $r < 0$: relación inversa
  • $r \approx 0$: sin correlación lineal

1. Tenemos dos variables: horas de estudio ($X$) y nota ($Y$). Si $r = 0.95$, ¿cómo es la correlación? (1 punto)

2. Para unos datos: $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 10$, $\sigma_{xy} = 6$, $\sigma_x^2 = 3$. ¿Cuál es la pendiente de la recta de regresión? (1.5 puntos)

3. Con los datos del ejercicio anterior ($\bar{x}=4$, $\bar{y}=10$, pendiente $=2$), ¿cuál es la ecuación de la recta de regresión? (1.5 puntos)

4. Si la recta de regresión es $y = 2x + 2$, ¿qué nota prevé el modelo para un alumno que estudia $5$ horas? (1 punto)

5. Datos: $(1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5)$. Calcula $\bar{x}$. (1 punto)

6. Con los datos anteriores, calcula $\bar{y}$. (1 punto)

7. ¿Qué significaría un coeficiente de correlación $r = -0.9$? (2 puntos)

8. Un modelo de regresión tiene $r^2 = 0.81$. ¿Qué porcentaje de la variación de $Y$ explica el modelo? (1 punto)