Medidas de centralización

Las medidas de centralización resumen un conjunto de datos en un único valor "representativo" que indica alrededor de qué número se concentran los datos. Las tres principales son la media aritmética, la mediana y la moda.

Media aritmética

La media ($\bar{x}$) es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos $N$:

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} $$

Cuando los datos están organizados en una tabla de frecuencias, se calcula como:

$$ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i \cdot x_i}{N} $$

donde $n_i$ es la frecuencia absoluta de cada valor (o marca de clase, si los datos están agrupados en intervalos) y $k$ es el número de valores distintos.

media de las notas 3, 5, 5, 7, 10
  • Suma de datos: $3 + 5 + 5 + 7 + 10 = 30$
  • Número de datos: $N = 5$
  • Media: $\bar{x} = 30 : 5 = 6$

Mediana

La mediana ($Me$) es el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Deja el 50% de los datos por debajo y el 50% por encima.

  • Si $N$ es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición $(N+1)/2$.
  • Si $N$ es par, la mediana es la media de los dos datos centrales (posiciones $N/2$ y $N/2 + 1$).
mediana de 3, 5, 5, 7, 10

Hay $N = 5$ datos (impar). Posición central: $(5+1)/2 = 3$.

Datos ordenados: 3, 5, 5, 7, 10. La mediana es $Me = 5$.

mediana de 2, 4, 6, 8

Hay $N = 4$ datos (par). Posiciones centrales: $4/2 = 2$ y $3$.

Datos ordenados: 2, 4, 6, 8. La mediana es $Me = (4 + 6)/2 = 5$.

Moda

La moda ($Mo$) es el valor (o valores) que más se repite en el conjunto de datos. Un conjunto puede tener una moda (unimodal), varias (bimodal, multimodal) o ninguna (si todos los valores aparecen el mismo número de veces).

moda de 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6

El valor 5 aparece 3 veces, más que ningún otro. La moda es $Mo = 5$.

Datos agrupados en intervalos

Cuando los datos están agrupados, usamos la marca de clase $x_i$ (punto medio de cada intervalo) como representante del intervalo.

:::summary[Ejemplo: estaturas (cm) de 20 alumnos]

IntervaloMarca $x_i$$n_i$$n_i \cdot x_i$
[150, 156)1533459
[156, 162)1594636
[162, 168)1656990
[168, 174)1715855
[174, 180]1772354
Total203294
  • Media: $\bar{x} = 3294 : 20 = 164{,}7$ cm
  • Mediana: $N/2 = 10$, la clase mediana es [162, 168) porque su frecuencia acumulada supera 10. Interpolando: $Me = 162 + \frac{10 - 7}{6} \cdot 6 = 165$ cm
  • Moda: la clase con mayor frecuencia es [162, 168), por lo que $Mo \approx 165$ cm

Comparación de las tres medidas

MedidaQué indicaCuándo usarla
MediaEl valor medio aritméticoCon datos homogéneos y sin valores extremos
MedianaEl valor central de la distribuciónCuando hay valores atípicos (muy grandes o pequeños)
ModaEl valor más frecuenteCon datos cualitativos o para conocer la tendencia más común

Importante: la media es muy sensible a los valores extremos. Si en un grupo de 5 personas una gana 10 000 € y las demás 1 000 €, la media ($2 800$ €) no representa bien al grupo; la mediana (1 000 €) sí.

1. ¿Cuál es la media aritmética de los datos 4, 8, 6 y 10? (1 puntos)

2. Calcula la mediana de los datos: 2, 5, 9, 12, 20. (1 puntos)

3. ¿Cuál es la moda del conjunto 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6? (1 puntos)

4. En un grupo con los datos 1, 2, 2, 2, 100, ¿qué medida representa mejor el conjunto? (1 puntos)

5. La tabla muestra la frecuencia de las notas de un examen. Calcula la media: $x_1 = 5$ con $n_1 = 4$, $x_2 = 7$ con $n_2 = 6$, $x_3 = 9$ con $n_3 = 10$. (1 puntos)

6. La mediana de los datos 2, 4, 6 y 8 es: (1 puntos)

7. Dados los datos 1, 2, 2, 4, 9 (ya ordenados), calcula las medidas indicadas: (1 puntos)

a ) La media aritmética

b ) La mediana

c ) La moda

8. Para datos agrupados en intervalos, ¿qué valor usamos como representante de cada intervalo al calcular la media? (1 puntos)