Estudio de una función

Analizar una función significa describir su comportamiento a partir de su expresión algebraica o de su gráfica. Las características principales son el dominio, el recorrido, los puntos de corte, la monotonía, los extremos y la simetría.

Dominio y recorrido

El dominio ($Dom f$) es el conjunto de valores de $x$ para los que la función está definida. El recorrido (o imagen) es el conjunto de valores que toma $y = f(x)$.

Reglas básicas para calcular el dominio:

  • Si $f(x)$ es un polinomio, $Dom f = \mathbb{R}$.
  • Si hay denominador, se excluyen los valores que lo anulan: $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ tiene $Dom f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
  • Si hay raíz cuadrada, el radicando debe ser mayor o igual que 0: $f(x) = \sqrt{x - 3}$ tiene $Dom f = [3, +\infty)$.

Puntos de corte con los ejes

  • Corte con el eje Y: se calcula $f(0)$; es el punto $(0, f(0))$.
  • Cortes con el eje X: se resuelve $f(x) = 0$; son los puntos $(x, 0)$.
$f(x) = x^2 - 4$
  • Corte con Y: $f(0) = 0^2 - 4 = -4 \Rightarrow (0, -4)$
  • Cortes con X: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \Rightarrow (-2, 0)$ y $(2, 0)$

Monotonía y extremos

  • Una función es creciente en un intervalo si al aumentar $x$ aumenta $f(x)$; es decreciente si al aumentar $x$ disminuye $f(x)$.
  • Un máximo relativo es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer; un mínimo relativo, donde pasa de decrecer a crecer.
  • El máximo absoluto es el mayor valor de $f(x)$ en todo el dominio; el mínimo absoluto, el menor.

Simetría

  • Función par: $f(-x) = f(x)$. Su gráfica es simétrica respecto del eje Y. Ejemplo: $f(x) = x^2$.
  • Función impar: $f(-x) = -f(x)$. Su gráfica es simétrica respecto del origen. Ejemplo: $f(x) = x^3$.

Periodicidad

Una función es periódica de periodo $T$ si $f(x + T) = f(x)$ para todo $x$: su gráfica se repite cada $T$ unidades. Las funciones trigonométricas son los ejemplos típicos.

Tasa de variación media (TVM)

La tasa de variación media de $f$ en el intervalo $[a, b]$ mide cuánto cambia la función por unidad de $x$:

$$ TVM[a, b] = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$
TVM de $f(x) = x^2$ en $[1, 3]$

$TVM[1, 3] = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

La función crece, en promedio, 4 unidades por cada unidad de $x$ en ese intervalo.

Estudio completo de una parábola: ejemplo resumido

$f(x) = x^2 - 4x + 3$
  • Dominio: $\mathbb{R}$ (polinomio).
  • Corte con Y: $f(0) = 3 \Rightarrow (0, 3)$
  • Cortes con X: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1$ y $x = 3 \Rightarrow (1, 0)$ y $(3, 0)$
  • Vértice: $x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$; $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 \Rightarrow (2, -1)$
  • Monotonía: decreciente en $(-\infty, 2)$, creciente en $(2, +\infty)$; mínimo relativo y absoluto en $(2, -1)$.
  • Recorrido: $[-1, +\infty)$

1. El dominio de $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ es: (1 puntos)

2. El dominio de $f(x) = \sqrt{x - 3}$ es: (1 puntos)

3. Halla los puntos de corte de $f(x) = x^2 - 9$ con los ejes: (1 puntos)

a ) Coordenada $x$ positiva del corte con el eje X

b ) Coordenada $x$ negativa del corte con el eje X

c ) Coordenada $y$ del corte con el eje Y

4. Calcula la tasa de variación media de $f(x) = 2x + 1$ en el intervalo $[1, 5]$. (1 puntos)

5. Calcula la tasa de variación media de $f(x) = x^2$ en el intervalo $[1, 3]$. (1 puntos)

6. La función $f(x) = x^2$ es una función: (1 puntos)

7. La función $f(x) = x^3$ es una función: (1 puntos)

8. Una función pasa de ser creciente a decreciente en el punto $x = 2$. Ese punto es: (1 puntos)