Las cónicas como funciones
Las cónicas (parábola, hipérbola, elipse y circunferencia) son curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano. De ellas, la parábola y la hipérbola pueden representar funciones (a cada $x$ le corresponde una única $y$); la circunferencia y la elipse no son funciones, porque una misma $x$ tiene dos imágenes.
La parábola: función cuadrática
La función cuadrática es $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \neq 0$. Su gráfica es una parábola.
- Si $a > 0$, las ramas abren hacia arriba (tiene un mínimo).
- Si $a < 0$, las ramas abren hacia abajo (tiene un máximo).
- El vértice es el punto donde la parábola alcanza su extremo:
- Eje de simetría: la recta vertical $x = x_v$.
- Puntos de corte: con el eje Y en $(0, c)$; con el eje X resolviendo $ax^2 + bx + c = 0$.
$f(x) = x^2 - 4x + 3$
- $a = 1 > 0$, ramas hacia arriba.
- Vértice: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$; $y_v = 4 - 8 + 3 = -1 \Rightarrow V(2, -1)$
- Corte con Y: $(0, 3)$
- Cortes con X: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1$, $x = 3 \Rightarrow (1, 0)$ y $(3, 0)$
Forma canónica y traslaciones
Toda parábola puede escribirse como:
donde $(h, k)$ es el vértice. Es la parábola $y = ax^2$ trasladada $h$ unidades en horizontal y $k$ en vertical.
$f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$
El vértice es $(3, 1)$. Es la parábola $y = 2x^2$ desplazada 3 unidades a la derecha y 1 hacia arriba. Como $a = 2 > 0$, las ramas abren hacia arriba.
La hipérbola: proporcionalidad inversa
La función de proporcionalidad inversa es $y = \frac{k}{x}$ con $k \neq 0$. Su gráfica es una hipérbola formada por dos ramas.
- Si $k > 0$, las ramas están en el primer y tercer cuadrante; si $k < 0$, en el segundo y cuarto.
- Tiene dos asíntotas: la recta $x = 0$ (eje Y) y la recta $y = 0$ (eje X). Las ramas se acercan a ellas sin llegar a tocarlas.
- No está definida en $x = 0$: $Dom f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
$y = \frac{6}{x}$
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $-2$ | $-3$ | $-6$ | 6 | 3 | 2 |
Al multiplicar $x$ e $y$ siempre obtenemos 6: es una relación de proporcionalidad inversa con constante $k = 6$.
Traslaciones de la hipérbola
La función $y = \frac{k}{x - h} + c$ es la hipérbola trasladada: su asíntota vertical es $x = h$ y su asíntota horizontal es $y = c$.
$y = \frac{3}{x - 1} + 2$
- Asíntota vertical: $x = 1$ (el denominador se anula en $x = 1$).
- Asíntota horizontal: $y = 2$.
- Para $x = 2$: $y = 3 + 2 = 5$; para $x = 0$: $y = -3 + 2 = -1$.
Tabla resumen
| Función | Expresión | Características principales |
|---|---|---|
| Parábola | $y = ax^2 + bx + c$ | Vértice $(-b/2a, f(-b/2a))$, eje vertical |
| Hipérbola | $y = k/x$ | Asíntotas $x = 0$ e $y = 0$ |
| Circunferencia | $x^2 + y^2 = r^2$ | No es función (falla el test de la línea vertical) |
| Elipse | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ | No es función |