Función exponencial
Una función exponencial es de la forma:
La variable $x$ está en el exponente. La base $a$ es una constante positiva distinta de 1. También aparecen variantes como $f(x) = k \cdot a^x$ o $f(x) = a^x + c$.
Características principales
| Propiedad | Valor |
|---|---|
| Dominio | $\mathbb{R}$ (todos los reales) |
| Recorrido | $(0, +\infty)$ |
| Punto fijo | Siempre pasa por $(0, 1)$, porque $a^0 = 1$ |
| Asíntota | La recta $y = 0$ (eje X), a la que se acerca sin tocarla |
- Si $a > 1$, la función es creciente: $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$...
- Si $0 < a < 1$, la función es decreciente: $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$, $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$...
tabla de $f(x) = 2^x$
| $x$ | $-2$ | $-1$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $1/4$ | $1/2$ | 1 | 2 | 4 | 8 |
La gráfica crece cada vez más deprisa: es un crecimiento exponencial.
Propiedades de las potencias (repaso necesario)
simplificar $2^3 \cdot 2^4$
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$
Traslaciones
- $f(x) = a^x + c$: desplaza la gráfica $c$ unidades en vertical. La asíntota pasa a ser $y = c$.
- $f(x) = k \cdot a^x$: cambia la "velocidad" de crecimiento y el punto de corte con el eje Y pasa a ser $(0, k)$.
$f(x) = 2^x - 3$
Es $2^x$ desplazada 3 unidades hacia abajo. Su asíntota horizontal es $y = -3$ y pasa por $(0, -2)$.
Aplicaciones: interés compuesto
El capital final tras $t$ años con interés compuesto anual $i$ es:
1000 € al 5% anual durante 3 años
$C_f = 1000 \cdot (1 + 0{,}05)^3 = 1000 \cdot 1{,}05^3 = 1000 \cdot 1{,}157625 = 1157{,}625$ €
Se obtienen aproximadamente 1157,63 €.
Crecimiento y decrecimiento: cómo distinguirlos
- Crecimiento exponencial ($a > 1$): poblaciones, interés compuesto, propagación de virus.
- Decrecimiento exponencial ($0 < a < 1$): desintegración radiactiva, enfriamiento de un objeto, desaparición de un fármaco en la sangre.
Errores comunes: confundir $2^x$ con $x^2$ (la primera es exponencial, la segunda polinómica); olvidar que la exponencial nunca vale 0 (por eso la asíntota es $y = 0$); pensar que $2^{-1} = -2$ cuando en realidad $2^{-1} = 1/2$.