Sistema de coordenadas

El plano cartesiano

El sistema de coordenadas cartesianas (en honor a René Descartes) está formado por dos rectas numéricas perpendiculares que se cortan en su origen:

El eje de abscisas (eje $X$), horizontal.
El eje de ordenadas (eje $Y$), vertical.
El punto de corte es el origen, $O(0, 0)$.

Cada punto del plano se identifica con un par ordenado de números $(x, y)$, donde $x$ es la abscisa (distancia horizontal) e $y$ la ordenada (distancia vertical).

Cuadrantes

Los ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes:

Cuadrante	Signo de $x$	Signo de $y$	Ejemplo
I	$+$	$+$	$(3, 2)$
II	$-$	$+$	$(-4, 1)$
III	$-$	$-$	$(-2, -5)$
IV	$+$	$-$	$(6, -3)$

Los puntos que están sobre un eje tienen una coordenada nula: en el eje $X$ la ordenada es $0$; en el eje $Y$ la abscisa es $0$.

Distancia entre dos puntos

Dados $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$, la distancia entre ellos es:

$$ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

distancia entre $A(1, 2)$ y $B(4, 6)$

$$ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

La distancia es de 5 unidades.

Punto medio de un segmento

El punto medio $M$ del segmento de extremos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ tiene por coordenadas la media aritmética de las coordenadas de los extremos:

$$ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $$

punto medio del segmento $A(-2, 4)$ y $B(6, -2)$

$$ M = \left( \frac{-2 + 6}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2} \right) = (2, 1) $$

Simetrías

El simétrico de $(x, y)$ respecto del eje $X$ es $(x, -y)$.
El simétrico de $(x, y)$ respecto del eje $Y$ es $(-x, y)$.
El simétrico de $(x, y)$ respecto del origen es $(-x, -y)$.

Coordenadas y funciones

El plano cartesiano es la herramienta para representar funciones: cada punto de la gráfica de $y = f(x)$ tiene abscisa $x$ y ordenada $f(x)$.

Los puntos de corte con el eje $X$ cumplen $y = 0$.
El punto de corte con el eje $Y$ se obtiene sustituyendo $x = 0$.

cortes de la recta $y = 2x - 6$

Con el eje $Y$: si $x = 0$, entonces $y = -6$, es decir, el punto $(0, -6)$.
Con el eje $X$: si $y = 0$, entonces $0 = 2x - 6$, de donde $x = 3$, es decir, el punto $(3, 0)$.