¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones del tipo:
Una solución del sistema es un par de valores $(x, y)$ que verifica ambas ecuaciones a la vez.
Clasificación según sus soluciones
| Tipo | Significado gráfico | Soluciones |
|---|---|---|
| Compatible determinado | Las rectas se cortan en un punto | Una única solución |
| Compatible indeterminado | Las rectas coinciden | Infinitas soluciones |
| Incompatible | Las rectas son paralelas | Ninguna solución |
Método de sustitución
1. Despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Sustituye la expresión en la otra ecuación. 3. Resuelve la ecuación de una incógnita que queda. 4. Sustituye el valor obtenido para hallar la otra incógnita.
$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$
Despejamos $x$ en la primera: $x = 5 - y$.
Sustituimos en la segunda: $2(5 - y) - y = 1 \Rightarrow 10 - 2y - y = 1 \Rightarrow -3y = -9 \Rightarrow y = 3$.
Sustituimos: $x = 5 - 3 = 2$.
Solución: $(x, y) = (2, 3)$. Comprobación: $2 + 3 = 5$ y $2 \cdot 2 - 3 = 1$. Correcto.
Método de igualación
1. Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. 2. Iguala las dos expresiones obtenidas. 3. Resuelve la ecuación resultante y halla la otra incógnita.
$\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 9 \end{cases}$
La primera ya tiene despejada $y$. De la segunda: $y = 9 - x$.
Igualamos: $2x = 9 - x \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$.
Entonces $y = 2 \cdot 3 = 6$.
Solución: $(x, y) = (3, 6)$. Comprobación: $3 + 6 = 9$. Correcto.
Método de reducción
1. Multiplica las ecuaciones por números para que una incógnita tenga coeficientes opuestos. 2. Suma las dos ecuaciones miembro a miembro: la incógnita desaparece. 3. Resuelve y sustituye.
$\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Las ecuaciones ya tienen coeficientes opuestos en $y$ ($+1$ y $-1$). Sumamos:
$2x = 8 \Rightarrow x = 4$.
Sustituimos: $4 + y = 7 \Rightarrow y = 3$.
Solución: $(x, y) = (4, 3)$. Comprobación: $4 - 3 = 1$. Correcto.
Sistemas especiales
- Si al reducir queda una igualdad falsa ($0 = 5$), el sistema es incompatible: rectas paralelas.
- Si queda una identidad ($0 = 0$), el sistema es compatible indeterminado: rectas coincidentes, infinitas soluciones.
$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x + 6y = 24 \end{cases}$
La segunda ecuación es el doble de la primera, así que ambas rectas son la misma. El sistema tiene infinitas soluciones (todas las de $2x + 3y = 12$).
Resolución de problemas
Para resolver un problema con sistemas:
1. Identifica las incógnitas y asígnales nombre. 2. Traduce cada condición del enunciado a una ecuación. 3. Resuelve el sistema. 4. Comprueba que la solución tiene sentido en el contexto.
la suma de dos números es 15 y su diferencia es 3
Llamamos $x$ e $y$ a los números: $\begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 3 \end{cases}$.
Sumando: $2x = 18 \Rightarrow x = 9$. Luego $9 + y = 15 \Rightarrow y = 6$.
Los números son 9 y 6. Comprobación: $9 + 6 = 15$ y $9 - 6 = 3$. Correcto.