Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
Dado un ángulo agudo $\alpha$ de un triángulo rectángulo, se definen:
| Razón | Fórmula |
|---|---|
| Seno | $\sin \alpha = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$ |
| Coseno | $\cos \alpha = \dfrac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}$ |
| Tangente | $\tan \alpha = \dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}} = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ |
Identidades fundamentales
Ángulos notables
| Ángulo | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| $30^\circ$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y ángulos. Con una razón trigonométrica conocida y un dato adicional se resuelven los demás.
triángulo rectángulo con hipotenusa 10 y ángulo $\alpha = 60^\circ$
- Cateto contiguo: $\cos 60^\circ = \dfrac{\text{contiguo}}{10} \Rightarrow \text{contiguo} = 10 \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \dfrac{1}{2} = 5$.
- Cateto opuesto: $\sin 60^\circ = \dfrac{\text{opuesto}}{10} \Rightarrow \text{opuesto} = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$.
Comprobación: $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$. Correcto.
Aplicaciones: ángulos de elevación y depresión
- Ángulo de elevación: el que forma la línea de visión con la horizontal al mirar hacia arriba.
- Ángulo de depresión: el que forma la línea de visión con la horizontal al mirar hacia abajo.
altura de un árbol que proyecta una sombra de 10 m cuando el sol forma un ángulo de $45^\circ$
En el triángulo rectángulo, $\tan 45^\circ = \dfrac{h}{10} \Rightarrow h = 10 \cdot \tan 45^\circ = 10 \cdot 1 = 10$ m.
El árbol mide 10 metros.
Ley del seno y ley del coseno
Para triángulos cualesquiera (no necesariamente rectángulos), con lados $a, b, c$ opuestos a los ángulos $A, B, C$:
Ley del seno: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
Ley del coseno: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$
Son la herramienta para resolver triángulos oblicuángulos, muy usadas en topografía y navegación.
Cálculo de una razón a partir de otra
Si conocemos $\cos \alpha$ y sabemos que $\alpha$ es agudo, usamos la identidad fundamental para hallar $\sin \alpha$.
si $\cos \alpha = 0{,}6$, halla $\sin \alpha$
Tomamos el valor positivo porque $\alpha$ es agudo.