Enunciado del teorema
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, el más largo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
$$
a^2 = b^2 + c^2
$$
donde $a$ es la hipotenusa y $b$, $c$ los catetos.
De esta fórmula se despejan los tres lados:
| Incógnita | Fórmula |
|---|---|
| Hipotenusa | $a = \sqrt{b^2 + c^2}$ |
| Cateto | $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ |
| Cateto | $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ |
Teorema recíproco
Si en un triángulo de lados $a \geq b \geq c$ se cumple $a^2 = b^2 + c^2$, entonces el triángulo es rectángulo, con hipotenusa $a$.
Ternas pitagóricas
Son conjuntos de tres números naturales que cumplen el teorema, por ejemplo:
- $3, 4, 5$: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
- $5, 12, 13$: $25 + 144 = 169 = 13^2$
- $7, 24, 25$: $49 + 576 = 625 = 25^2$
Ejemplos resueltos
hipotenusa de un triángulo con catetos 6 y 8
$$
a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
$$
cateto de un triángulo con hipotenusa 13 y cateto 5
$$
b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12
$$
diagonal de un rectángulo de 3 cm por 4 cm
La diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos:
$$
d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
$$
Aplicaciones
- Diagonal de un cuadrado de lado $l$: $d = l\sqrt{2}$.
- Altura de un triángulo equilátero de lado $l$: $h = \dfrac{l\sqrt{3}}{2}$.
altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm
La altura divide la base en dos segmentos de 5 cm:
$$
h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 \text{ cm}
$$
escalera de 5 m apoyada a 3 m de la pared
La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo:
$$
h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}
$$
La escalera alcanza una altura de 4 metros.
Errores comunes
- Aplicar el teorema a triángulos que no son rectángulos.
- Confundir cuál es la hipotenusa (siempre el lado mayor).
- Sumar los lados al cuadrado en vez de restar al buscar un cateto: $b^2 = a^2 - c^2$.
- Olvidar la raíz cuadrada al final del cálculo.