Teorema de Tales

Si dos rectas $r$ y $s$ son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los correspondientes de la otra:

$$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} $$
si $AB = 2$, $BC = 3$ y $A'B' = 6$, ¿cuánto mide $B'C'$?
$$ \frac{2}{6} = \frac{3}{x} \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9 $$

El segmento $B'C'$ mide 9 unidades.

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales. La constante de proporcionalidad se llama razón de semejanza $k$:

$$ k = \frac{\text{lado del triángulo imagen}}{\text{lado correspondiente del original}} $$

Criterios de semejanza

  • AA (ángulo-ángulo): dos triángulos con dos ángulos iguales son semejantes.
  • LAL (lado-ángulo-lado): dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.
  • LLL (lado-lado-lado): los tres lados proporcionales.

Propiedades de las figuras semejantes

  • La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es $k$.
  • La razón entre sus áreas es $k^2$.
si un triángulo se amplía con razón $k = 3$
  • Sus lados se multiplican por 3.
  • Su perímetro se multiplica por 3.
  • Su área se multiplica por $3^2 = 9$.

Aplicación: medir alturas con las sombras

A la misma hora, los rayos del sol son paralelos, así que un objeto y su sombra forman con el suelo un triángulo rectángulo semejante al de cualquier otro objeto vertical.

una persona de 1,7 m proyecta una sombra de 2 m; un árbol proyecta una sombra de 8 m

Los triángulos son semejantes:

$$ \frac{1{,}7}{2} = \frac{h}{8} \Rightarrow h = \frac{1{,}7 \cdot 8}{2} = 6{,}8 \text{ m} $$

El árbol mide 6,8 metros.

División de un segmento en partes proporcionales

Con el teorema de Tales también se divide un segmento en partes iguales o proporcionales: se traza una semirrecta auxiliar, se marcan las partes y se unen los extremos con paralelas.

Errores comunes

  • Igualar segmentos no correspondientes al plantear la proporción.
  • Confundir la razón de semejanza $k$ con la razón de áreas ($k^2$).
  • Usar el teorema de Tales cuando las rectas no son paralelas.
  • Olvidar que en figuras semejantes los ángulos se conservan.

1. Dos rectas paralelas cortan a otras dos, formando segmentos proporcionales. Si $AB = 2$, $BC = 3$ y $A'B' = 6$, ¿cuánto vale $B'C'$? (1 puntos)

2. Si dos figuras son semejantes con razón $k = 2$, ¿qué le ocurre a su área? (1 puntos)

3. Una persona de 1,7 m proyecta una sombra de 2 m. En el mismo momento, un árbol proyecta una sombra de 8 m. ¿Cuánto mide el árbol en metros? (1 puntos)

4. Dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales. ¿Son semejantes? (1 puntos)

5. Un triángulo se amplía con razón de semejanza $k = 3$. ¿Cuánto se multiplica su perímetro? (1 puntos)

6. Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo de $30^\circ$ cada uno. ¿Qué podemos afirmar? (1 puntos)