Área y volumen de cuerpos geométricos

  • El área lateral ($A_L$) es la suma de las áreas de las caras laterales.
  • El área total ($A_T$) es el área lateral más el área de las bases: $A_T = A_L + 2A_{base}$ (en pirámides y conos, $A_T = A_L + A_{base}$).
  • El volumen ($V$) mide el espacio que ocupa el cuerpo.

Tabla de fórmulas

CuerpoÁrea lateralÁrea totalVolumen
Prisma (perímetro de la base $P$, altura $h$)$A_L = P \cdot h$$A_L + 2A_{base}$$V = A_{base} \cdot h$
Cilindro (radio $r$, altura $h$)$A_L = 2\pi r h$$2\pi r h + 2\pi r^2$$V = \pi r^2 h$
Pirámide (perímetro $P$, apotema lateral $a_p$)$A_L = \dfrac{P \cdot a_p}{2}$$A_L + A_{base}$$V = \dfrac{A_{base} \cdot h}{3}$
Cono (radio $r$, generatriz $g$)$A_L = \pi r g$$\pi r g + \pi r^2$$V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$
Esfera (radio $r$)—$A = 4\pi r^2$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

Ejemplos resueltos

cubo de lado 3 cm
  • Área total: $A = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$ cm².
  • Volumen: $V = 3^3 = 27$ cm³.
cilindro de radio 2 cm y altura 5 cm

Con $\pi \approx 3{,}14$:

  • Volumen: $V = \pi \cdot 2^2 \cdot 5 = 20\pi \approx 62{,}8$ cm³.
  • Área lateral: $A_L = 2\pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi \approx 62{,}8$ cm².
  • Área total: $A_T = 20\pi + 2 \cdot \pi \cdot 4 = 28\pi \approx 87{,}92$ cm².
esfera de radio 3 cm
  • Volumen: $V = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1$ cm³.
  • Área: $A = 4\pi \cdot 3^2 = 36\pi \approx 113{,}1$ cm².
pirámide de base cuadrada de lado 4 cm y altura 9 cm
  • Área de la base: $A_{base} = 4^2 = 16$ cm².
  • Volumen: $V = \dfrac{16 \cdot 9}{3} = 48$ cm³.

Unidades de volumen y capacidad

  • $1$ dm³ $= 1$ L y $1$ cm³ $= 1$ mL.
  • Para pasar de m³ a dm³ se multiplica por 1000; de dm³ a cm³, también por 1000.

Errores comunes

  • Olvidar el factor $\dfrac{1}{3}$ en el volumen de pirámides y conos.
  • Confundir la generatriz del cono con su altura: $g^2 = r^2 + h^2$.
  • Usar el diámetro en lugar del radio en las fórmulas del círculo.
  • Mezclar unidades (por ejemplo, radio en cm y altura en m) sin convertirlas antes.

1. Calcula el volumen de un cubo de lado 3 cm (en cm³). (1 puntos)

2. Un cilindro tiene radio 2 cm y altura 5 cm. Calcula su volumen en cm³ con $\pi \approx 3{,}14$. (1 puntos)

3. Calcula el volumen de una esfera de radio 3 cm, en cm³, con $\pi \approx 3{,}14$. (1 puntos)

4. Una pirámide tiene base cuadrada de lado 4 cm y altura 9 cm. ¿Cuál es su volumen en cm³? (1 puntos)

5. ¿Cuál es el área total de un cubo de lado 2 cm, en cm²? (1 puntos)

6. El volumen de un cono de radio 3 cm y altura 10 cm es: (1 puntos)

7. Un depósito cilíndrico tiene radio 1 dm y altura 1 dm. ¿Cuántos litros caben? (Recuerda: $1$ dm³ $= 1$ L) (1 puntos)