Operaciones combinadas

La jerarquía de las operaciones

Para resolver una expresión con varias operaciones hay que seguir siempre este orden:

1. Paréntesis (y corchetes), de dentro hacia fuera. 2. Potencias y raíces. 3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

El orden es obligatorio: cambiarlo conduce a resultados distintos.

$3 + 4 \cdot 2$

Primero la multiplicación: $3 + 8 = 11$.

Si se hiciera primero la suma se obtendría $7 \cdot 2 = 14$, que es incorrecto.

$(3 + 4) \cdot 2$

El paréntesis manda: $7 \cdot 2 = 14$.

La misma cifra con paréntesis distinto da un resultado distinto: por eso es clave respetar la jerarquía.

Con potencias y raíces

Las potencias y raíces se resuelven antes que las multiplicaciones y divisiones.

$2^3 + 3 \cdot (5 - 2)$

1. Paréntesis: $5 - 2 = 3$. 2. Potencia: $2^3 = 8$. 3. Multiplicación: $3 \cdot 3 = 9$. 4. Suma: $8 + 9 = 17$.

Resultado: 17.

Cuidado con los signos

$(-2)^2 = 4$, pero $-2^2 = -4$: el paréntesis hace que el signo también se eleve al cuadrado.
Restar un número negativo equivale a sumar: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha

Cuando solo quedan multiplicaciones y divisiones, se resuelven en el orden en que aparecen.

$6 : 2 \cdot 3$

De izquierda a derecha: $6 : 2 = 3$, luego $3 \cdot 3 = 9$.

El resultado no es $6 : 6 = 1$: la división y la multiplicación tienen la misma prioridad y se leen en orden.

Operaciones combinadas con fracciones

Se aplica la misma jerarquía; recuerda que para sumar fracciones hay que reducirlas a común denominador.

$\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \cdot 6$

1. Suma dentro del paréntesis: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$. 2. Multiplicación: $\dfrac{5}{6} \cdot 6 = 5$.

Resultado: 5.

completo: $5 - 2 \cdot (3 - 1)^2$

1. Paréntesis: $3 - 1 = 2$. 2. Potencia: $2^2 = 4$. 3. Multiplicación: $2 \cdot 4 = 8$. 4. Resta: $5 - 8 = -3$.

Resultado: $-3$.

Errores comunes

Hacer la suma antes que la multiplicación.
Elevar al cuadrado solo el número y olvidar el signo ($-2^2 \neq 4$).
Resolver las multiplicaciones y divisiones en el orden equivocado.
No reducir a común denominador al sumar fracciones.
Saltarse los paréntesis o no respetar su anidamiento (de dentro hacia fuera).

1. Calcula: $3 + 4 \cdot 2$ (1 puntos)

Retroalimentación: Primero la multiplicación: $3 + 8 = 11$.

2. Calcula: $(3 + 4) \cdot 2$ (1 puntos)

Retroalimentación: El paréntesis manda: $7 \cdot 2 = 14$.

3. Calcula: $2^3 + 3 \cdot (5 - 2)$ (1 puntos)

Retroalimentación: $2^3 + 3 \cdot 3 = 8 + 9 = 17$.

4. El valor de $(-2)^2$ es: (1 puntos)

$-4$ $4$ $-2$ $2$

Retroalimentación: El paréntesis hace que el signo también se eleve al cuadrado: $(-2)^2 = (-2) \cdot (-2) = 4$.

5. El valor de $-2^2$ es: (1 puntos)

$4$ $-4$ $2$ $-2$

Retroalimentación: Sin paréntesis, la potencia solo afecta al 2: $-2^2 = -(2 \cdot 2) = -4$. No confundir con $(-2)^2$.

6. Calcula: $6 : 2 \cdot 3$ (1 puntos)

Retroalimentación: Multiplicación y división tienen la misma prioridad y se resuelven de izquierda a derecha: $6 : 2 = 3$, luego $3 \cdot 3 = 9$.

7. Calcula: $5 - 2 \cdot (3 - 1)^2$ (1 puntos)

a ) Valor del paréntesis $3 - 1$:

b ) Resultado final de la expresión:

Retroalimentación: Se resuelve el paréntesis, luego la potencia $2^2 = 4$, la multiplicación $2 \cdot 4 = 8$ y por último la resta: $5 - 8 = -3$.

8. Calcula: $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \cdot 6$ (1 puntos)

Retroalimentación: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ y $\dfrac{5}{6} \cdot 6 = 5$.