Los conjuntos numéricos

• Naturales ($\mathbb{N}$): $1, 2, 3, \ldots$ (algunos autores incluyen el 0). Sirven para contar y ordenar.
• Enteros ($\mathbb{Z}$): los naturales, sus opuestos y el 0: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
• Racionales ($\mathbb{Q}$): todos los números que se escriben como fracción $\dfrac{a}{b}$ con $b \neq 0$. Son los decimales exactos y los periódicos.
• Irracionales ($\mathbb{I}$): los decimales con infinitas cifras no periódicas: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.
• Reales ($\mathbb{R}$): la unión de racionales e irracionales.

Las inclusiones son $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, con $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$ y $\mathbb{I} \cap \mathbb{Q} = \emptyset$.

¿Por qué $\sqrt{2}$ es irracional?

Si $\sqrt{2}$ fuera una fracción irreducible $\dfrac{a}{b}$, tendríamos $a^2 = 2b^2$, luego $a$ sería par y, de nuevo, $b$ también lo sería, contradiciendo que la fracción es irreducible. No existe, pues, ninguna fracción que valga $\sqrt{2}$.

Decimales y fracciones

• Decimal exacto: $0{,}75 = \dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$.
• Periódico puro: $0{,}\widehat{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
• Periódico mixto: $0{,}1\widehat{6} = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$.

Valor absoluto e intervalos

• El valor absoluto $|x|$ es la distancia de $x$ a 0: $|5| = 5$ y $|-7| = 7$.
• Un intervalo es un subconjunto de $\mathbb{R}$:

- Abierto: $(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ - Cerrado: $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}$ - Semirrectas: $[a, +\infty)$ y $(-\infty, b)$

Aproximaciones

Redondear es sustituir un número por otro cercano con menos cifras. La aproximación lleva asociado el error absoluto $E_a = |V_r - V_a|$ y el error relativo $E_r = \dfrac{E_a}{|V_r|}$, que suele darse en porcentaje.