Logaritmos y Ecuaciones — 4º ESO Académicas
Definición: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$
Propiedades:
$$
\log_a(m \cdot n) = \log_a m + \log_a n
$$
$$
\log_a\left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n
$$
$$
\log_a(m^n) = n \cdot \log_a m
$$
$$
\log_a a = 1 \qquad \log_a 1 = 0
$$
Cambio de base: $\log_a b = \dfrac{\log b}{\log a}$
Ecuaciones exponenciales: igualar exponentes o tomar logaritmos.
Ecuaciones logarítmicas: usar las propiedades para simplificar, luego despejar.
1. Calcula $\log_3 81$.
(1 punto)
Retroalimentación: $3^4 = 81$, por tanto $\log_3 81 = 4$.
2. Usa la propiedad de logaritmos: $\log 8 + \log 125 = ?$ (logaritmo decimal)
(1 punto)
Retroalimentación: $\log 8 + \log 125 = \log(8 \times 125) = \log 1000 = 3$.
3. Resuelve la ecuación exponencial: $2^x = 32$
(1 punto)
Retroalimentación: $2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$.
4. Resuelve: $3^{x+1} = 9^2$
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $9^2 = (3^2)^2 = 3^4$. Por tanto $3^{x+1} = 3^4 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$.
5. Resuelve la ecuación logarítmica: $\log(x+3) = 2$
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $x + 3 = 10^2 = 100 \Rightarrow x = 97$.
6. Resuelve: $\log x + \log(x-3) = 1$. ¿Cuál es la solución válida?
(2 puntos)
Retroalimentación: $\log[x(x-3)] = 1 \Rightarrow x^2 - 3x = 10 \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5$ ó $x = -2$. Válida: $x = 5$ (ya que $\log(-2)$ no existe).
7. Calcula $\log_5 25 + \log_5 5 - \log_5 5^3$
(2 puntos)
Retroalimentación: $\log_5 25 + \log_5 5 - \log_5 5^3 = 2 + 1 - 3 = 0$.