Definición de raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número $a \geq 0$ es otro número $b \geq 0$ tal que $b^2 = a$. Se escribe:
Por ejemplo, $\sqrt{25} = 5$ porque $5^2 = 25$, y $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ porque $0{,}3^2 = 0{,}09$.
Raíz exacta y aproximada
Si $a$ es un cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...), su raíz es un número natural. Si no lo es, la raíz es un número irracional y se suele dejar indicada o aproximar: $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$.
Propiedades de las raíces cuadradas
| Propiedad | Fórmula | ||
|---|---|---|---|
| Raíz de un producto | $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ | ||
| Raíz de un cociente | $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ | ||
| Cuadrado de una raíz | $(\sqrt{a})^2 = a$ | ||
| Raíz de una potencia | $\sqrt{a^2} = | a | $ |
Ojo: la raíz cuadrada no es distributiva respecto de la suma: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
Simplificar una raíz cuadrada
Para simplificar $\sqrt{a}$, se descompone $a$ en factores primos y se extraen los que tengan exponente par.
simplificar $\sqrt{72}$
$72 = 2^3 \cdot 3^2$. Separamos los cuadrados perfectos:
simplificar $\sqrt{200}$
$200 = 2^3 \cdot 5^2 = 100 \cdot 2$, luego:
Racionalización
Quitar raíces del denominador se llama racionalizar. Si el denominador es una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por ella:
Si el denominador es un binomio con raíces, se multiplica por el conjugado:
Errores comunes
- Escribir $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$: es falso, por ejemplo $\sqrt{9 + 16} = 5 \neq 3 + 4 = 7$.
- Olvidar que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en los reales: $\sqrt{-4}$ no está definida.
- Confundir $\sqrt{a^2} = |a|$ con $a$ cuando $a$ puede ser negativo.