Simplificación de potencias

Definición de potencia

Una potencia $a^n$ es el producto de $n$ factores iguales a $a$:

$$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ veces}} $$

El número $a$ se llama base y $n$, exponente.

Propiedades de las potencias

Propiedad	Fórmula
Producto de la misma base	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Cociente de la misma base	$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Potencia de una potencia	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Potencia de un producto	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
Potencia de un cociente	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Exponente cero	$a^0 = 1$ (si $a \neq 0$)
Exponente negativo	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
Exponente fraccionario	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$

Simplificar expresiones con potencias

Se aplican las propiedades de dentro hacia fuera, respetando la jerarquía de operaciones.

simplificar $\dfrac{2^5 \cdot 2^3}{2^6}$

$$ \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^6} = \frac{2^{5+3}}{2^6} = \frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4 $$

simplificar $(3^2)^4 \cdot 3^{-5}$

$$ (3^2)^4 \cdot 3^{-5} = 3^{2 \cdot 4} \cdot 3^{-5} = 3^8 \cdot 3^{-5} = 3^{8-5} = 3^3 = 27 $$

expresar con exponente positivo $\dfrac{x^{-2} \cdot x^5}{x^3}$

$$ \frac{x^{-2} \cdot x^5}{x^3} = \frac{x^{-2+5}}{x^3} = \frac{x^3}{x^3} = x^0 = 1 $$

Errores comunes

Confundir $a^m \cdot a^n$ con $a^{m \cdot n}$: los exponentes se suman, no se multiplican.
Olvidar que $a^0 = 1$ siempre que $a \neq 0$.
Aplicar la potencia de un producto solo a un factor: $(2x)^3 = 8x^3$, no $2x^3$.
No distinguir $-2^4 = -16$ de $(-2)^4 = 16$.

1. El resultado de $a^m \cdot a^n$ es: (1 puntos)

$a^{m+n}$ $a^{m \cdot n}$ $a^{m-n}$ $a^{n-m}$

Retroalimentación: Al multiplicar potencias de la misma base se **suman** los exponentes: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. Calcula: $2^3 \cdot 2^4$ (1 puntos)

Retroalimentación: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$.

3. La expresión $\left(\dfrac{a^3}{b^2}\right)^2$ equivale a: (1 puntos)

$\dfrac{a^6}{b^4}$ $\dfrac{a^9}{b^4}$ $\dfrac{a^6}{b^2}$ $\dfrac{a^5}{b^4}$

Retroalimentación: Se aplica la potencia de un cociente y luego la potencia de una potencia: $\left(\frac{a^3}{b^2}\right)^2 = \frac{(a^3)^2}{(b^2)^2} = \frac{a^6}{b^4}$.

4. Calcula: $\dfrac{5^8}{5^6}$ (1 puntos)

Retroalimentación: $\frac{5^8}{5^6} = 5^{8-6} = 5^2 = 25$.

5. El valor de $7^0$ es: (1 puntos)

$0$ $1$ $7$ No está definido

Retroalimentación: Cualquier número distinto de cero elevado a 0 es 1: $7^0 = 1$.

6. Expresa $3^{-2}$ como fracción y calcúlala. (1 puntos)

Retroalimentación: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}1111$.

7. Simplifica aplicando propiedades (resultado como potencia o número): (1 puntos)

a ) $x^5 \cdot x^{-2}$ (exponente de $x$)

b ) $(2^3)^2$

Retroalimentación: Se suman o multiplican los exponentes según la propiedad aplicada: $x^5 \cdot x^{-2} = x^3$ y $(2^3)^2 = 2^6 = 64$.

8. ¿Cuál de estas igualdades es correcta? (1 puntos)

$-2^4 = 16$ $(-2)^4 = 16$ $(-2)^3 = 8$ $(-2)^0 = 0$

Retroalimentación: $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$. En cambio $-2^4 = -(2^4) = -16$ y $(-2)^3 = -8$. Además, $(-2)^0 = 1$.