Probabilidad condicionada
Cuando conocemos de antemano que ha ocurrido un suceso $B$ y queremos recalcular la probabilidad de otro suceso $A$, hablamos de probabilidad condicionada, que escribimos $P(A|B)$: probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$.
La idea es que el conocimiento de $B$ reduce el espacio muestral: ya solo consideramos los casos en los que $B$ se cumple, y de entre ellos contamos los que también cumplen $A$.
Probabilidad de la intersección
De la definición anterior se deduce una fórmula muy útil:
Sucesos dependientes e independientes
| Tipo de sucesos | Condición | Significado | |
|---|---|---|---|
| Independientes | $P(A | B) = P(A)$ o bien $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ | Que ocurra $B$ no cambia la probabilidad de $A$ |
| Dependientes | $P(A | B) \neq P(A)$ | Saber que ha ocurrido $B$ modifica la probabilidad de $A$ |
Diagramas de árbol
En experimentos con varias etapas (por ejemplo, extracciones sucesivas de bolas) se usa el diagrama de árbol: cada rama lleva la probabilidad condicionada al camino ya recorrido, y la probabilidad de un camino completo es el producto de las probabilidades de sus ramas.
resuelto: extracciones sin reemplazamiento
Una urna contiene 4 bolas rojas y 2 verdes. Extraemos dos bolas sin reemplazamiento.
- Probabilidad de que la segunda sea roja si la primera fue roja:
$P(R_2|R_1) = \frac{3}{5}$, porque quedan 3 rojas entre 5 bolas.
- Probabilidad de que las dos sean rojas:
Tablas de contingencia
Cuando tenemos dos características cruzadas, organizamos los datos en una tabla de contingencia, que permite leer las probabilidades condicionadas de forma directa.
resuelto: aprobar matemáticas en un instituto
En un instituto hay 100 estudiantes: 60 chicas y 40 chicos. Aprueban matemáticas 45 chicas y 20 chicos.
| Aprueban | Suspenden | Total | |
|---|---|---|---|
| Chicas | 45 | 15 | 60 |
| Chicos | 20 | 20 | 40 |
| Total | 65 | 35 | 100 |
- $P(\text{Aprueba}) = \frac{65}{100} = 0{,}65$
- $P(\text{Aprueba} | \text{Chica}) = \frac{45}{60} = 0{,}75$
- $P(\text{Chica} | \text{Aprueba}) = \frac{45}{65} = \frac{9}{13} \approx 0{,}69$
Comprobación con la probabilidad total: $P(A) = P(Ch) \cdot P(A|Ch) + P(Co) \cdot P(A|Co) = 0{,}6 \cdot 0{,}75 + 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}45 + 0{,}20 = 0{,}65$
Teorema de Bayes
Si conocemos $P(A|B)$ y queremos $P(B|A)$, usamos la fórmula de Bayes:
Por ejemplo, con los datos anteriores: $P(\text{Chica} | \text{Aprueba}) = \frac{0{,}75 \cdot 0{,}6}{0{,}65} = \frac{0{,}45}{0{,}65} = \frac{9}{13} \approx 0{,}69$.
Errores comunes
- Confundir $P(A|B)$ con $P(B|A)$: ¡no son iguales en general!
- Olvidar que $P(A|B)$ solo tiene sentido si $P(B) > 0$.
- En extracciones sin reemplazamiento, olvidar que el número de bolas cambia tras la primera extracción.