Estrategia general para resolver problemas

1. Identifica el experimento aleatorio y su espacio muestral. 2. Comprueba si los sucesos elementales son equiprobables; si es así, aplica la regla de Laplace. 3. Si el problema tiene varias etapas, dibuja un diagrama de árbol. 4. Detecta las palabras clave: "y" suele indicar intersección, "o" unión, y "al menos uno" se resuelve mejor con el suceso contrario. 5. Comprueba si hay reemplazamiento en las extracciones: con él las probabilidades no cambian; sin él, sí.

Regla de Laplace

Si todos los sucesos elementales son igualmente probables:

$$ P(A) = \frac{\text{casos favorables a } A}{\text{casos posibles}} $$

Suceso contrario

$$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) $$

Es muy útil en problemas del tipo "al menos uno", porque su contrario es "ninguno".

resuelto: lanzamiento de dos dados

Lanzamos dos dados correctos. Hay $6 \cdot 6 = 36$ resultados posibles.

  • Suma igual a 7: casos $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(5,2)$, $(6,1)$: 6 casos.

$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

  • Suma mayor o igual que 10: $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$, $(5,6)$, $(6,5)$, $(6,6)$: 6 casos.

$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

  • Al menos un 6: es el contrario de "ningún 6":

$P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Extracciones con y sin reemplazamiento

resuelto: urna con 3 blancas y 2 negras

Extraemos dos bolas.

  • Con reemplazamiento, ambas blancas: $P = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$.
  • Sin reemplazamiento, ambas blancas: $P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
  • Sin reemplazamiento, al menos una negra: es el contrario de "ambas blancas":

$P = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.

Unión de sucesos

Para sucesos cualesquiera:

$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$
resuelto: carta de una baraja

De una baraja española de 40 cartas (o de una francesa de 52, el método es el mismo) extraemos una carta.

  • Probabilidad de que sea un as: hay 4 ases entre 52 cartas: $P = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
  • Probabilidad de que sea roja o as (baraja francesa):

$P = \frac{26}{52} + \frac{4}{52} - \frac{2}{52} = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$, porque hay 26 cartas rojas, 4 ases y 2 ases rojos contados dos veces.

Problema clásico con árbol: gafas

resuelto: probabilidad total y Bayes

En un instituto, el 60% del alumnado son chicas. El 25% de las chicas y el 40% de los chicos usan gafas.

  • Probabilidad de que un alumno elegido al azar use gafas (probabilidad total):
$$ P(G) = 0{,}6 \cdot 0{,}25 + 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}15 + 0{,}16 = 0{,}31 $$
  • Si usa gafas, ¿probabilidad de que sea chica? (Bayes):
$$ P(\text{Chica}|G) = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}25}{0{,}31} = \frac{0{,}15}{0{,}31} = \frac{15}{31} \approx 0{,}48 $$

Errores comunes

  • Sumar $P(A) + P(B)$ cuando $A$ y $B$ no son incompatibles: hay que restar $P(A \cap B)$.
  • Olvidar si hay reemplazamiento o no en las extracciones.
  • Calcular mal el suceso contrario de "al menos uno".
  • Usar Laplace cuando los sucesos elementales no son equiprobables.

1. Lanzamos dos dados correctos. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7? (1 puntos)

2. Lanzamos dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6? (1 puntos)

3. Una urna tiene 3 bolas blancas y 2 negras. Extraemos dos bolas SIN reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? Escríbela en forma decimal. (1 puntos)

4. Con la misma urna (3 blancas y 2 negras), extraemos dos bolas SIN reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una sea negra? (1 puntos)

5. El 60% del alumnado son chicas. El 25% de las chicas y el 40% de los chicos usan gafas. Se elige un alumno al azar. (2 puntos)

a ) P(use gafas) = ? (decimal)

b ) Si usa gafas, P(sea chica) = ? (decimal, redondea a 2 cifras)

6. De una baraja francesa de 52 cartas extraemos una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja o as? (1 puntos)