Principio de multiplicación
Si una primera elección se puede hacer de $m$ formas y, después de cada una, una segunda elección de $n$ formas, entonces ambas elecciones se pueden hacer de $m \cdot n$ formas distintas. Este principio es la base de toda la combinatoria.
Variaciones sin repetición
Las variaciones de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$, $V_m^n$, son las agrupaciones ordenadas de $n$ elementos elegidos de un conjunto de $m$, sin que ninguno se repita.
Dos agrupaciones son distintas si difieren en algún elemento o en el orden de colocación.
resuelto: el podio de una carrera
En una carrera con 10 corredores, ¿de cuántas formas pueden repartirse las medallas de oro, plata y bronce?
Importa el orden (quién es primero, segundo y tercero) y un corredor no puede ocupar dos puestos:
Variaciones con repetición
Las variaciones con repetición de $m$ elementos tomados de $n$ en $n$, $VR_m^n$, son las agrupaciones ordenadas en las que los elementos pueden repetirse.
resuelto: números con cifras repetidas
¿Cuántos números de 3 cifras (las cifras pueden repetirse) pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
Para cada una de las 3 posiciones hay 5 opciones:
Permutaciones: el caso particular $n = m$
Si usamos todos los elementos y solo cambia su orden, hablamos de permutaciones:
resuelto: ordenar 5 libros
¿De cuántas formas pueden colocarse 5 libros distintos en una estantería?
¿Variaciones o combinaciones?
La pregunta clave es: ¿importa el orden?
| Importa el orden | No importa el orden | |
|---|---|---|
| Sin repetición | Variaciones: $V_m^n = \dfrac{m!}{(m-n)!}$ | Combinaciones: $C_m^n = \dbinom{m}{n}$ |
| Con repetición | Variaciones con repetición: $VR_m^n = m^n$ | Combinaciones con repetición: $CR_m^n$ |
Por ejemplo, elegir 3 delegados de un grupo de 10 (sin cargo) es una combinación, pero elegir presidente, secretario y tesorero es una variación.
Errores comunes
- Confundir variaciones con combinaciones: pregunta siempre si el orden distingue las agrupaciones.
- Olvidar que en las variaciones sin repetición el número de opciones disminuye en 1 por cada posición.
- Usar el factorial completo cuando no se toman todos los elementos: $V_m^n$ no es $m!$ salvo que $n = m$.