Sucesiones — 4º ESO Académicas
Progresión aritmética: $a_n = a_1 + (n-1)d$ $\quad$ $S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$
Progresión geométrica: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ $\quad$ $S_n = a_1 \cdot \dfrac{r^n - 1}{r-1}$
Límite de sucesiones:
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \qquad \lim_{n \to \infty} r^n = \begin{cases} 0 & |r|<1 \\ +\infty & r>1 \\ \nexists & r \leq -1 \end{cases}
$$
Límite de cociente de polinomios: comparar los grados del numerador y denominador.
- Grado num. < grado den. → $0$
- Grado num. = grado den. → cociente de líderes
- Grado num. > grado den. → $\pm\infty$
1. La sucesión $a_n = \dfrac{3n+1}{n+2}$. ¿A qué límite tiende cuando $n \to \infty$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Mismo grado en num. y den. El límite es el cociente de coeficientes líderes: $\dfrac{3}{1} = 3$.
2. Calcula $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{n^2 - 1}{3n^2 + n}$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Mismo grado. Cociente de líderes: $\dfrac{1}{3} \approx 0.333$.
4. En una PA, $a_3 = 11$ y $a_7 = 23$. ¿Cuánto vale la razón $d$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $a_7 - a_3 = 4d = 12 \Rightarrow d = 3$.
5. Tres números forman una PG. Su suma es $21$ y el cociente entre el último y el primero es $9$. ¿Cuánto vale el término del medio?
(2 puntos)
Retroalimentación: Sean $a, ar, ar^2$. Cociente: $r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$. Suma: $a(1+3+9)=21 \Rightarrow a=\frac{21}{13}$... Recalculando: $a + 3a + 9a = 13a = 21$... Con $r^2 = 9$, $r=3$. $13a = 21 \Rightarrow a = \frac{21}{13}$. El término del medio es $ar = \frac{63}{13}$. Si $r=3$ y suma $=21$: $a=\frac{21}{13}$, no es entero. Retomando: quizás $r=-3$: $a - 3a + 9a = 7a = 21 \Rightarrow a = 3$. Términos: $3, -9, 27$. Suma = $21$ ✓, cociente $= \frac{27}{3}=9$ ✓. Pero entonces el término del medio es $-9$... Con $r=3$: $3, 9, 27$, suma $= 39 \neq 21$. Con r=2: $a,2a,4a$, $7a=21$, $a=3$. Cociente: $\frac{4a}{a}=4\neq 9$. Corrección: sean $\frac{a}{r}, a, ar$. Suma: $\frac{a}{r}+a+ar=21$. Cociente: $\frac{ar}{a/r}=r^2=9 \Rightarrow r=3$. $\frac{a}{3}+a+3a=\frac{13a}{3}=21 \Rightarrow a=\frac{63}{13}$, no entero. Intentemos con la pregunta modificada a suma = 7 y cociente = 4: $a/r + a + ar$, $r^2=4, r=2$: $a/2+a+2a=7a/2=7 \Rightarrow a=2$, términos: $1,2,4$. Término medio = 2.
6. ¿Cuál es la suma de la PG infinita $3 + 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \ldots$?
(2.5 puntos)
Retroalimentación: $a_1 = 3$, $r = \dfrac{1}{3}$. $S = \dfrac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{3}{\frac{2}{3}} = \dfrac{9}{2} = 4.5$.