Definición de sucesión
Una sucesión numérica es una lista ordenada de números, uno para cada posición:
$$
a_1, \, a_2, \, a_3, \, \ldots, \, a_n, \, \ldots
$$
- El subíndice $n$ indica la posición del término.
- $a_n$ se llama término general o término n-ésimo y permite calcular cualquier término sin necesidad de escribir toda la lista.
resuelto: primeros términos
Dada la sucesión $a_n = 3n - 1$:
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $a_n$ | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 |
$a_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2$, $a_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5$, y así sucesivamente. La sucesión es 2, 5, 8, 11, 14, ...
Tres formas de definir una sucesión
1. Por su término general: $a_n = n^2$ da la sucesión 1, 4, 9, 16, ... 2. Por recurrencia: se da el primer término y una regla para pasar de uno al siguiente. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci: $a_1 = 1$, $a_2 = 1$ y $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ para $n \geq 3$: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 3. Enumerando sus primeros términos: 1, 4, 9, 16, ... (aunque así no sabemos con certeza cómo continúa).
Cómo encontrar el término general
Para hallar $a_n$ a partir de los primeros términos, observa las diferencias o los cocientes entre términos consecutivos:
| Sucesión | Primeros términos | Patrón | $a_n$ |
|---|---|---|---|
| Cuadrados | 1, 4, 9, 16 | $n \cdot n$ | $n^2$ |
| Pares | 2, 4, 6, 8 | $2 \cdot n$ | $2n$ |
| Impares | 1, 3, 5, 7 | $2n - 1$ | $2n - 1$ |
| Inversos | 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{n}$ | $\frac{1}{n}$ |
| Potencias de 2 | 2, 4, 8, 16 | $2^n$ | $2^n$ |
Monotonía
- Creciente: cada término es mayor o igual que el anterior: $a_{n+1} \geq a_n$. Ejemplo: $a_n = 2n$.
- Decreciente: cada término es menor o igual que el anterior: $a_{n+1} \leq a_n$. Ejemplo: $a_n = \frac{1}{n}$.
- Constante: todos los términos son iguales. Ejemplo: $a_n = 5$.
- Oscilante: ni crece ni decrece de forma continua. Ejemplo: $a_n = (-1)^n$ da -1, 1, -1, 1, ...
Comportamiento cuando $n$ es grande (idea de límite)
- La sucesión $a_n = \frac{1}{n}$ se acerca a 0 tanto como queramos: decimos que tiende a 0.
- La sucesión $a_n = 2n$ crece sin límite: tiende a infinito.
- La sucesión $a_n = (-1)^n$ salta entre -1 y 1: no tiende a ningún valor.
Errores comunes
- Empezar a contar en $n = 0$ en vez de $n = 1$: por convenio, $a_1$ es el primer término.
- Confundir "término general" con "término en una posición concreta": $a_n$ es la fórmula; $a_5$ es un número.
- Creer que los primeros términos determinan de forma única la sucesión: hacen falta reglas adicionales.