Definición de sucesión aritmética

Una sucesión aritmética es aquella en la que cada término se obtiene sumando una cantidad constante $d$ al anterior. Esa cantidad $d$ se llama diferencia:

$$ a_{n+1} = a_n + d $$
resuelto: reconocer la diferencia

En la sucesión 3, 7, 11, 15, 19, ... la diferencia es $d = 7 - 3 = 4$. Cada término se obtiene sumando 4 al anterior.

Término general

Si conocemos el primer término $a_1$ y la diferencia $d$:

$$ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d $$

También se puede usar cualquier término de referencia $a_k$:

$$ a_n = a_k + (n - k) \cdot d $$
resuelto: calcular un término cualquiera

En la sucesión 3, 7, 11, 15, ... con $a_1 = 3$ y $d = 4$:

$$ a_n = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1 $$

El término 15 es $a_{15} = 4 \cdot 15 - 1 = 59$.

También podemos despejar la diferencia si conocemos dos términos: si $a_5 = 17$ y $a_1 = 5$, $17 = 5 + 4d \Rightarrow 4d = 12 \Rightarrow d = 3$.

Suma de los n primeros términos

La suma de los $n$ primeros términos es:

$$ S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} $$

Es decir, la media del primero y el último multiplicada por el número de términos.

resuelto: Gauss y la suma 1 + 2 + ... + 100

Con $a_1 = 1$, $a_{100} = 100$ y $n = 100$:

$$ S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = \frac{101 \cdot 100}{2} = 5050 $$

La leyenda cuenta que Gauss lo calculó así de niño, emparejando 1 con 100, 2 con 99, etc.

resuelto: suma con datos sueltos

Sucesión con $a_1 = 5$ y $d = 3$.

  • Término 10: $a_{10} = 5 + 9 \cdot 3 = 32$.
  • Suma de los 10 primeros: $S_{10} = \frac{(5 + 32) \cdot 10}{2} = \frac{37 \cdot 10}{2} = 185$.

Comprobación: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32. La suma es 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 = 185. ¡Correcto!

Interpolación de términos

Interpolar $k$ términos entre dos números dados $x$ e $y$ consiste en construir una sucesión aritmética que empiece en $x$ y termine en $y$ con $k$ términos en medio. La diferencia es:

$$ d = \frac{y - x}{k + 1} $$
resuelto: interpolar 3 términos entre 2 y 14
$$ d = \frac{14 - 2}{3 + 1} = \frac{12}{4} = 3 $$

La sucesión es 2, 5, 8, 11, 14. Comprobamos que $d = 3$ en cada paso.

Errores comunes

  • Confundir la posición $n$ con el número de diferencias: para llegar a $a_n$ hay que sumar $n - 1$ veces la diferencia.
  • Olvidar dividir entre 2 en la fórmula de la suma.
  • Aplicar la fórmula de la suma con $a_1$ y $a_n$ sin comprobar que $a_n$ corresponde al término $n$ de la sucesión.

1. ¿Qué caracteriza a una sucesión aritmética? (1 puntos)

2. Calcula el término 15 de la sucesión aritmética 3, 7, 11, 15, ... (1 puntos)

3. ¿Cuánto vale la suma $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$? (1 puntos)

4. Una sucesión aritmética tiene $a_1 = 5$ y $d = 3$. ¿Cuánto vale la suma de sus 10 primeros términos? (1 puntos)

5. Sucesión aritmética con $a_1 = 2$ y $d = 5$: (2 puntos)

a ) Calcula $a_{20}$:

b ) Calcula $S_{20}$ (suma de los 20 primeros términos):

6. ¿Cuál es el término general de la sucesión 10, 7, 4, 1, -2, ...? (1 puntos)