Definición de sucesión geométrica

Una sucesión geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante $r$, llamada razón:

$$ a_{n+1} = a_n \cdot r $$
resuelto: reconocer la razón

En la sucesión 2, 6, 18, 54, ... la razón es $r = \frac{6}{2} = 3$. Cada término se obtiene multiplicando el anterior por 3.

Término general

Si conocemos el primer término $a_1$ y la razón $r$:

$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
resuelto: calcular un término cualquiera

En la sucesión 2, 6, 18, 54, ... con $a_1 = 2$ y $r = 3$:

$$ a_n = 2 \cdot 3^{n-1} $$

El término 10 es $a_{10} = 2 \cdot 3^9 = 2 \cdot 19683 = 39366$.

También se puede despejar la razón: si $a_4 = 24$ y $a_1 = 3$, entonces $24 = 3 \cdot r^3 \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$.

Suma de los n primeros términos

Para $r \neq 1$:

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
resuelto: suma de términos

Sucesión 3, 6, 12, 24, ... con $a_1 = 3$ y $r = 2$.

  • Término 6: $a_6 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$.
  • Suma de los 6 primeros:
$$ S_6 = 3 \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{64 - 1}{1} = 3 \cdot 63 = 189 $$

Comprobación: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189. ¡Correcto!

Suma infinita

Si la razón está entre -1 y 1 (excluidos), es decir, $|r| < 1$, los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma de todos los términos es un número finito:

$$ S = \frac{a_1}{1 - r} $$
resuelto: sumar infinitos términos

Suma de la sucesión $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \ldots$

Con $a_1 = \frac{1}{2}$ y $r = \frac{1}{2}$:

$$ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 $$

Efectivamente, $0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \cdots = 1$.

Aplicación: crecimiento y decrecimiento

La sucesión geométrica modela procesos en los que una cantidad se multiplica por un factor fijo: duplicación de bacterias, interés compuesto, desintegración de una sustancia...

resuelto: bacterias que se duplican

Un cultivo empieza con 1000 bacterias y se duplica cada hora. Tras $n$ horas hay $a_n = 1000 \cdot 2^{n}$ bacterias.

  • Tras 3 horas: $1000 \cdot 2^3 = 8000$ bacterias.
  • Tras 5 horas: $1000 \cdot 2^5 = 32000$ bacterias.

Errores comunes

  • Confundir la posición $n$ con el exponente: para llegar a $a_n$ hay que multiplicar $n - 1$ veces por $r$, de ahí el exponente $n - 1$.
  • Aplicar la suma infinita cuando $|r| \geq 1$: en ese caso la suma no es finita.
  • Usar la fórmula de la suma con $r = 1$: entonces la sucesión es constante y $S_n = n \cdot a_1$.

1. ¿Qué caracteriza a una sucesión geométrica? (1 puntos)

2. Calcula el término 7 de la sucesión geométrica 3, 6, 12, 24, ... (1 puntos)

3. ¿Cuánto vale la suma infinita $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$? (1 puntos)

4. Una sucesión geométrica tiene $a_1 = 3$ y $r = 2$. ¿Cuánto vale la suma de sus 6 primeros términos? (1 puntos)

5. Sucesión geométrica con $a_1 = 5$ y $r = 3$: (2 puntos)

a ) Calcula $a_5$:

b ) Calcula $S_5$ (suma de los 5 primeros términos):

6. ¿Cuál de las siguientes sucesiones es geométrica? (1 puntos)