¿Qué es una ecuación de segundo grado?
Una ecuación de segundo grado tiene la incógnita elevada al cuadrado. Su forma general es:
donde $a$, $b$ y $c$ son números (con $a \neq 0$). Por ejemplo, en $2x^2 - 5x + 1 = 0$ tenemos $a = 2$, $b = -5$ y $c = 1$.
Ecuaciones incompletas
Cuando falta el término con $x$ (es decir, $b = 0$) o falta el término independiente (es decir, $c = 0$), se resuelven más rápido.
Caso $b = 0$: $ax^2 + c = 0$
Despejamos $x^2$ y tomamos raíz cuadrada.
$x^2 - 9 = 0$
1. Despejamos: $x^2 = 9$ 2. Raíz cuadrada: $x = \pm 3$ 3. Comprobación: $3^2 - 9 = 0$ y $(-3)^2 - 9 = 0$ ✓
Si queda un número negativo: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$ no tiene solución real, porque ningún número al cuadrado da negativo.
Caso $c = 0$: $ax^2 + bx = 0$
Sacamos factor común $x$: $x(ax + b) = 0$. Un producto es cero si uno de los factores es cero.
$x^2 - 5x = 0$
1. Factor común: $x(x - 5) = 0$ 2. $x = 0$ o $x - 5 = 0$ 3. Soluciones: $x = 0$ y $x = 5$
Fórmula general
Para la ecuación completa $ax^2 + bx + c = 0$ usamos la fórmula:
Al número $\Delta = b^2 - 4ac$ se le llama discriminante y nos dice cuántas soluciones hay:
| Discriminante | Número de soluciones |
|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dos soluciones distintas |
| $\Delta = 0$ | Una solución doble |
| $\Delta < 0$ | Ninguna solución real |
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
1. Identificamos: $a = 2$, $b = -5$, $c = 2$ 2. Discriminante: $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$ 3. Aplicamos la fórmula: $x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$ 4. Soluciones: $x_1 = \frac{8}{4} = 2$ y $x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 5. Comprobación: $2 \cdot 4 - 10 + 2 = 0$ ✓ y $2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = 0$ ✓
con solución doble: $x^2 - 6x + 9 = 0$
1. $\Delta = 36 - 36 = 0$, así que hay una sola solución 2. $x = \frac{6 \pm 0}{2} = 3$ 3. Comprobación: $9 - 18 + 9 = 0$ ✓
Consejos prácticos
- Ordena siempre la ecuación en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ antes de identificar $a$, $b$ y $c$.
- En problemas de geometría o de la vida real, descarta las soluciones negativas si no tienen sentido (por ejemplo, una longitud no puede ser negativa).
- Comprueba siempre las soluciones sustituyendo en la ecuación original.