¿Qué son las identidades notables?
Las identidades notables son tres fórmulas que permiten desarrollar ciertos productos de forma rápida, sin hacer toda la multiplicación.
Las tres identidades
1. Cuadrado de una suma
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
$$
El cuadrado de una suma es el cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
$(x + 3)^2$
- Primero: $x$, segundo: $3$
- $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
- Comprobación: $(x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$ ✓
2. Cuadrado de una diferencia
$$
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
$$
Igual que antes, pero el doble producto va restando.
$(2x - 1)^2$
- Primero: $2x$, segundo: $1$
- $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$
3. Suma por diferencia
$$
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
$$
El producto de una suma por su diferencia es la diferencia de cuadrados.
$(x + 4)(x - 4)$
- $x^2 - 4^2 = x^2 - 16$
- Comprobación: $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 4x + 4x - 16 = x^2 - 16$ ✓
Aplicación: cálculo mental
Las identidades notables permiten calcular productos difíciles de cabeza:
- $101^2 = (100 + 1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$
- $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$
- $49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$
Errores comunes
- El error más frecuente: creer que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$. ¡Falso! Falta el doble producto $2ab$. Por ejemplo, $(3 + 2)^2 = 25$, pero $3^2 + 2^2 = 13$.
- Olvidar el signo negativo del doble producto en $(a - b)^2$.
- Confundir $(a + b)^2$ con $(a + b)(a - b)$.
Tabla resumen
| Identidad | Fórmula |
|---|---|
| Cuadrado de una suma | $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ |
| Cuadrado de una diferencia | $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ |
| Suma por diferencia | $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ |