¿Qué es un logaritmo?
El logaritmo en base $b$ de un número $a$ es el exponente al que hay que elevar la base para obtener $a$:
$$
\log_b a = c \quad \Longleftrightarrow \quad b^c = a
$$
Ejemplos:
- $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$
- $\log_3 27 = 3$ porque $3^3 = 27$
- $\log_5 25 = 2$ porque $5^2 = 25$
Logaritmo decimal y neperiano
| Tipo | Base | Se escribe | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Decimal | $10$ | $\log$ | $\log 100 = 2$ porque $10^2 = 100$ |
| Neperiano | $e \approx 2{,}718$ | $\ln$ | $\ln e = 1$ |
Valores importantes del logaritmo decimal:
- $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 1000 = 3$
- $\log 1 = 0$ (cualquier base: $b^0 = 1$)
- $\log 0{,}1 = -1$ porque $10^{-1} = 0{,}1$
Propiedades de los logaritmos
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Logaritmo de un producto | $\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$ |
| Logaritmo de un cociente | $\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$ |
| Logaritmo de una potencia | $\log_b x^n = n \cdot \log_b x$ |
| Logaritmo de 1 | $\log_b 1 = 0$ |
| Logaritmo de la base | $\log_b b = 1$ |
desarrolla $\log(4 \cdot 25)$
Aplicamos el logaritmo de un producto: $\log(4 \cdot 25) = \log 4 + \log 25$ De hecho, $\log(4 \cdot 25) = \log 100 = 2$, así que $\log 4 + \log 25 = 2$.
con valores: si $\log 2 \approx 0{,}301$, calcula $\log 8$
$\log 8 = \log 2^3 = 3 \cdot \log 2 \approx 3 \cdot 0{,}301 = 0{,}903$
simplifica $\log 50 - \log 5$
$\log 50 - \log 5 = \log \left(\frac{50}{5}\right) = \log 10 = 1$
¿Para qué sirven?
Los logaritmos aparecen en escalas de la vida real:
- El pH de una disolución: $pH = -\log [H^+]$.
- La escala Richter de los terremotos.
- La escala de decibelios del sonido.
Errores comunes
- Confundir $\log_b (x + y)$ con $\log_b x + \log_b y$: no existe ninguna propiedad para la suma.
- Creer que $\log 0 = 0$: el logaritmo de 0 no existe.
- Olvidar que $\log_b 1 = 0$ (¡no es 1!).