Los logaritmos en la vida real

Muchas magnitudes del mundo real crecen o se miden de forma exponencial, y los logaritmos sirven para manejarlas. Vamos a ver las tres aplicaciones más conocidas.

1. El pH de las disoluciones

El pH mide la acidez de una disolución:

$$ pH = -\log [H^+] $$

donde $[H^+]$ es la concentración de iones de hidrógeno (en mol/L).

$[H^+] = 10^{-3}$ mol/L

1. Sustituimos: $pH = -\log(10^{-3})$ 2. Como $\log(10^{-3}) = -3$, entonces $pH = -(-3) = 3$ 3. Un pH menor que 7 indica una disolución ácida; $pH = 3$ es ácida (por ejemplo, el vinagre)

Un pH de 7 es neutro (agua pura) y un pH mayor que 7 es básico. Por ejemplo, con $[H^+] = 10^{-8}$ se obtiene $pH = 8$ (básico).

2. La escala Richter

La escala Richter mide la magnitud de los terremotos. Cada unidad de magnitud significa que la amplitud de las ondas se multiplica por 10.

terremoto de magnitud 6 frente a uno de magnitud 5
  • La diferencia es $6 - 5 = 1$ unidad
  • La amplitud es $10^1 = 10$ veces mayor
  • Un terremoto de magnitud 7 frente a uno de magnitud 5: $10^{7-5} = 10^2 = 100$ veces mayor

3. Crecimiento de poblaciones

Si una población se duplica cada cierto tiempo, su tamaño sigue una potencia de 2, y el logaritmo nos da el tiempo.

bacterias que se duplican cada hora

Empieza con 1 bacteria y se duplica cada hora. ¿Cuántas horas tardará en haber 64?

1. Tras $t$ horas hay $2^t$ bacterias 2. Queremos $2^t = 64$ 3. Como $64 = 2^6$, entonces $t = 6$ horas

4. El sonido: decibelios

Los decibelios (dB) miden la intensidad del sonido con logaritmos. Cada 10 dB significa que la intensidad se multiplica por 10: un sonido de 60 dB es 10 veces más intenso que uno de 50 dB, y 100 veces más intenso que uno de 40 dB.

Pasos para resolver un problema con logaritmos

1. Identifica la base: en potencias de 2, usa $\log_2$; en potencias de 10, usa $\log$. 2. Expresa el número como potencia de la base si es posible (por ejemplo, $64 = 2^6$). 3. Iguala los exponentes o usa la definición de logaritmo. 4. Comprueba que la respuesta tiene sentido en el contexto.

Errores comunes

  • Confundir pH ácido y básico: pH menor que 7 es ácido, mayor que 7 es básico.
  • En Richter, restar magnitudes y elevar 10 a esa diferencia: magnitud 7 frente a 5 es $10^2$, no $10 \cdot 2$.
  • Olvidar que en el crecimiento de poblaciones el tiempo depende de los periodos de duplicación, no de la población final directamente.

1. Una población se duplica cada hora. Si empieza con 1 individuo y crece como $2^t$, ¿cuántas horas tarda en llegar a 32 individuos? (1 puntos)

2. Calcula el pH de una disolución con $[H^+] = 10^{-5}$ mol/L usando $pH = -\log[H^+]$. (1 puntos)

3. En la escala Richter, ¿cuántas veces mayor es la amplitud de un terremoto de magnitud 7 que la de uno de magnitud 5? (1 puntos)

4. Resuelve $3^x = 81$. ¿Cuánto vale $x$? (1 puntos)

5. Resuelve las ecuaciones exponenciales: (1 puntos)

a ) $2^t = 16$

b ) $3^t = 9$

6. Hay 100 bacterias en un cultivo que se duplica cada 2 horas. ¿Cuántas horas deben pasar para tener 1600 bacterias? (1 puntos)