¿Qué es un logaritmo?
El logaritmo en base $b$ de un número $a$ es el exponente al que hay que elevar $b$ para obtener $a$:
En este curso usaremos sobre todo el logaritmo decimal (base 10), que se escribe $\log$, y el logaritmo natural o neperiano (base $e$), que se escribe $\ln$.
Dos valores que hay que saberse
| Expresión | Valor | Motivo |
|---|---|---|
| $\log_b 1$ | $0$ | cualquier base elevada a 0 da 1 |
| $\log_b b$ | $1$ | cualquier base elevada a 1 da la propia base |
Por ejemplo: $\log 1 = 0$, $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$ y $\log 1000 = 3$.
Propiedades fundamentales
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Logaritmo de un producto | $\log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$ | $\log(100 \cdot 10) = 2 + 1 = 3$ |
| Logaritmo de un cociente | $\log_b \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$ | $\log\left(\dfrac{1000}{10}\right) = 3 - 1 = 2$ |
| Logaritmo de una potencia | $\log_b (x^n) = n \cdot \log_b x$ | $\log(10^4) = 4 \cdot \log 10 = 4$ |
Ejemplos resueltos
logaritmo de un producto
Calcular $\log(100 \cdot 1000)$:
1. Aplicamos la propiedad del producto: $\log(100 \cdot 1000) = \log 100 + \log 1000$. 2. Sustituimos los valores: $2 + 3 = 5$.
Comprobación: $10^5 = 100000$, que es exactamente $100 \cdot 1000$. El resultado es correcto.
logaritmo de una potencia
Sabiendo que $\log 2 \approx 0{,}301$, calcular $\log 8$:
1. Escribimos 8 como potencia de 2: $8 = 2^3$. 2. Aplicamos la propiedad de la potencia: $\log 8 = \log(2^3) = 3 \cdot \log 2$. 3. Sustituimos: $3 \cdot 0{,}301 = 0{,}903$.
Comprobación: $10^{0{,}903} \approx 8$. El resultado es correcto.
aplicación al pH
El pH de una disolución se calcula como $pH = -\log[H^+]$. Si la concentración de iones de hidrógeno es $[H^+] = 10^{-5}$ mol/L:
$pH = -\log(10^{-5}) = -\left(-5 \cdot \log 10\right) = -(-5) = 5$
La disolución tiene pH 5, es decir, ligeramente ácida.
Errores comunes
- ❌ Pensar que $\log(x + y) = \log x + \log y$. Falso: la suma no se puede separar.
- ❌ Pensar que $\log(x - y) = \log x - \log y$. Falso: la resta tampoco.
- ✅ Solo se separan el producto, el cociente y la potencia.
Otras aplicaciones reales
- Escala de Richter: cada unidad de magnitud multiplica por 10 la amplitud del terremoto (escala logarítmica).
- Decibelios: el nivel de sonido se mide en una escala logarítmica.
- Crecimiento y finanzas: el logaritmo natural permite despejar el tiempo en fórmulas de interés compuesto.