¿Qué es una proporción?
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número. Por ejemplo, si 3 kg de naranjas cuestan 6 €, 6 kg costarán 12 €.
Se cumple que el cociente entre las dos magnitudes es constante:
La constante $k$ se llama constante de proporcionalidad.
Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar una por un número, la otra queda dividida por ese mismo número. Por ejemplo, cuantos más obreros trabajan, menos días se tarda.
Se cumple que el producto de las dos magnitudes es constante:
Cómo distinguirlas
| Situación | Tipo | Razón |
|---|---|---|
| Más kilos, más precio | Directa | al doblar $x$ se dobla $y$ |
| Más obreros, menos días | Inversa | al doblar $x$ se divide $y$ |
| Más velocidad, menos tiempo | Inversa | al doblar $x$ se divide $y$ |
La regla de tres
Es el método práctico para resolver problemas de proporcionalidad.
regla de tres directa
4 kg de naranjas cuestan 6 €. ¿Cuánto cuestan 10 kg?
| Kilos | Precio (€) |
|---|---|
| 4 | 6 |
| 10 | x |
Como es directa: $\dfrac{x}{10} = \dfrac{6}{4}$ → $x = \dfrac{6 \cdot 10}{4} = 15$ €.
La constante es $k = 6/4 = 1{,}5$ €/kg, y $10 \cdot 1{,}5 = 15$. ✅
regla de tres inversa
3 obreros tardan 8 días en hacer una obra. ¿Cuánto tardarán 6 obreros?
| Obreros | Días |
|---|---|
| 3 | 8 |
| 6 | x |
Como es inversa, el producto es constante: $3 \cdot 8 = 6 \cdot x$ → $x = \dfrac{24}{6} = 4$ días.
Al doblar los obreros, el tiempo se divide por 2. ✅
escala de un mapa
Un mapa tiene escala 1:50000, es decir, 1 cm en el mapa son 50000 cm (0,5 km) reales. ¿A cuántos km corresponden 5 cm?
$5 \cdot 50000 = 250000$ cm $= 2{,}5$ km.
Es una proporcionalidad directa: a más cm en el mapa, más distancia real. ✅
Porcentajes y repartos
Un porcentaje es una proporcionalidad directa con total 100: el 20% de 250 es $250 \cdot \dfrac{20}{100} = 50$.
Un reparto proporcional divide una cantidad en partes que mantienen una razón dada. Si se reparten 1000 € en proporción 3 : 2, hay $3 + 2 = 5$ partes, cada una de $1000/5 = 200$ €: la primera recibe $3 \cdot 200 = 600$ € y la segunda $2 \cdot 200 = 400$ €.