¿Para qué sirve la regla de Ruffini?
La regla de Ruffini es un método rápido para dividir un polinomio $P(x)$ entre un binomio de la forma $(x - a)$.
Solo sirve para divisores de la forma $x - a$, pero es mucho más corta que la división larga.
Pasos de la regla de Ruffini
Para dividir $P(x)$ entre $(x - a)$:
1. Escribimos los coeficientes del polinomio en orden de mayor a menor grado (si falta algún término, se pone un 0). 2. Colocamos el número $a$ a la izquierda. 3. Bajamos el primer coeficiente. 4. Multiplicamos por $a$, sumamos con el siguiente coeficiente y repetimos. 5. El último número es el resto; los demás son los coeficientes del cociente (un grado menos).
Ejemplo resuelto paso a paso
dividir $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ entre $(x - 1)$
Coeficientes: 2, 3, -8, 3. Como dividimos entre $x - 1$, tomamos $a = 1$.
| Paso | Operación | Resultado |
|---|---|---|
| Bajar el 2 | 2 | |
| $2 \cdot 1 = 2$ | $3 + 2$ | 5 |
| $5 \cdot 1 = 5$ | $-8 + 5$ | -3 |
| $-3 \cdot 1 = -3$ | $3 + (-3)$ | 0 |
El resto es 0 y el cociente es $2x^2 + 5x - 3$.
Comprobación: $(x - 1)(2x^2 + 5x - 3) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$. ✅
El teorema del resto
El resto de dividir $P(x)$ entre $(x - a)$ es igual a $P(a)$, es decir, al valor del polinomio cuando $x = a$.
Esto tiene dos consecuencias muy útiles:
- Para evaluar un polinomio en $x = a$: $P(a) = $ resto de Ruffini.
- Si el resto es 0, entonces $x = a$ es una raíz del polinomio y $(x - a)$ es un factor.
calcular $P(2)$ con Ruffini
Para $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$, dividimos entre $(x - 2)$ con $a = 2$:
| Coeficientes: 1, -4, 5, -2 |
|---|
| Bajar 1; $1 \cdot 2 = 2$; $-4 + 2 = -2$ |
| $-2 \cdot 2 = -4$; $5 - 4 = 1$ |
| $1 \cdot 2 = 2$; $-2 + 2 = 0$ |
Resto 0, luego $P(2) = 0$: $x = 2$ es una raíz y $P(x) = (x - 2)(x^2 - 2x + 1)$.
Errores comunes
- Olvidar poner un 0 cuando falta un término (por ejemplo, en $x^3 + 2x - 5$ el coeficiente de $x^2$ es 0).
- Usar $a$ con el signo equivocado: para dividir entre $x + 2$ se usa $a = -2$, porque $x + 2 = x - (-2)$.
- Confundir el resto con el último coeficiente del cociente: el resto es el último número de la fila.