Examen - Cálculo Aplicado - 4º ESO Aplicadas

Cálculo Aplicado — 4º ESO Aplicadas

Derivada: mide la tasa de cambio instantánea (pendiente de la tangente).

Reglas básicas:

Crecimiento/decrecimiento:

Extremos relativos: si $f'(a) = 0$:

Optimización: plantear función $\to$ derivar $\to$ igualar a $0$ $\to$ comprobar si es máx/mín.

1. Deriva $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7$. (1 punto)

$f'(x) = 15x^2 - 4x$ $f'(x) = 15x^2 - 2x$ $f'(x) = 5x^2 - 4x$ $f'(x) = 15x^3 - 4x$

Retroalimentación: $f'(x) = 3 \times 5x^2 - 2 \times 2x + 0 = 15x^2 - 4x$.

2. Una función tiene $f'(x) = 3x^2 - 12$. ¿En qué punto $x > 0$ tiene un extremo relativo? (1.5 puntos)

Retroalimentación: $f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ (tomamos el positivo).

3. Para $f(x) = x^3 - 12x$, calcula $f'(x)$ e indica si $x = 2$ es máximo o mínimo. (2 puntos)

Mínimo relativo, porque $f''(2) > 0$ Máximo relativo, porque $f''(2) < 0$ Ni máximo ni mínimo Mínimo relativo, porque $f'(2) = 0$

Retroalimentación: $f'(x) = 3x^2-12$; $f''(x) = 6x$; $f''(2) = 12 > 0$ → mínimo relativo.

4. El coste de producción es $C(x) = x^2 - 20x + 200$ (€). ¿Para cuántas unidades es mínimo? (2 puntos)

Retroalimentación: $C'(x) = 2x - 20 = 0 \Rightarrow x = 10$. $C''(10) = 2 > 0$ → mínimo.

5. Una función $f$ tiene $f'(x) > 0$ en $(1, 5)$ y $f'(x) < 0$ en $(5, 8)$. ¿Qué ocurre en $x = 5$? (1.5 puntos)

Máximo relativo Mínimo relativo La función es constante Punto de inflexión

Retroalimentación: La función pasa de creciente ($f' > 0$) a decreciente ($f' < 0$): hay un máximo en $x = 5$.

6. Una empresa tiene beneficio $B(x) = -2x^2 + 80x - 600$, donde $x$ es el número de unidades. ¿Cuántas unidades maximizan el beneficio? (2 puntos)

Retroalimentación: $B'(x) = -4x + 80 = 0 \Rightarrow x = 20$. $B''(20) = -4 < 0$ → máximo.